Para encontrar el perímetro del triángulo cuyos vértices son los puntos [tex]\( A = (4, 4) \)[/tex], [tex]\( B = (3, 3) \)[/tex] y [tex]\( C = (-1, 1) \)[/tex], primero necesitamos calcular las longitudes de los lados [tex]\( AB \)[/tex], [tex]\( BC \)[/tex] y [tex]\( CA \)[/tex].
### Paso 1: Calcular la distancia entre los puntos [tex]\( A \)[/tex] y [tex]\( B \)[/tex]
Usamos la fórmula de distancia entre dos puntos [tex]\((x_1, y_1)\)[/tex] y [tex]\((x_2, y_2)\)[/tex] que es:
[tex]\[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \][/tex]
Sustituyendo los valores correspondientes:
[tex]\[ AB = \sqrt{(3 - 4)^2 + (3 - 4)^2} \][/tex]
[tex]\[ AB = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} \][/tex]
[tex]\[ AB = \sqrt{1 + 1} \][/tex]
[tex]\[ AB = \sqrt{2} \][/tex]
[tex]\[ AB \approx 1.4142135623730951 \][/tex]
### Paso 2: Calcular la distancia entre los puntos [tex]\( B \)[/tex] y [tex]\( C \)[/tex]
De nuevo, aplicamos la fórmula de distancia:
[tex]\[ BC = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \][/tex]
Sustituyendo los valores correspondientes:
[tex]\[ BC = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (1 - 3)^2} \][/tex]
[tex]\[ BC = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} \][/tex]
[tex]\[ BC = \sqrt{16 + 4} \][/tex]
[tex]\[ BC = \sqrt{20} \][/tex]
[tex]\[ BC \approx 4.47213595499958 \][/tex]
### Paso 3: Calcular la distancia entre los puntos [tex]\( C \)[/tex] y [tex]\( A \)[/tex]
Aplicamos la fórmula de distancia:
[tex]\[ CA = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \][/tex]
Sustituyendo los valores correspondientes:
[tex]\[ CA = \sqrt{(4 - (-1))^2 + (4 - 1)^2} \][/tex]
[tex]\[ CA = \sqrt{(5)^2 + (3)^2} \][/tex]
[tex]\[ CA = \sqrt{25 + 9} \][/tex]
[tex]\[ CA = \sqrt{34} \][/tex]
[tex]\[ CA \approx 5.830951894845301 \][/tex]
### Paso 4: Calcular el perímetro del triángulo
El perímetro se obtiene sumando las longitudes de los tres lados:
[tex]\[ \text{Perímetro} = AB + BC + CA \][/tex]
Sustituyendo los valores calculados:
[tex]\[ \text{Perímetro} \approx 1.4142135623730951 + 4.47213595499958 + 5.830951894845301 \][/tex]
[tex]\[ \text{Perímetro} \approx 11.717301412217974 \][/tex]
Por lo tanto, el perímetro del triángulo es aproximadamente [tex]\( 11.717301412217974 \)[/tex].
