Para resolver este problema, primero debemos calcular el tiempo que le toma a cada ciclista completar una vuelta alrededor de la pista. Después, encontraremos el tiempo mínimo común o el primer tiempo en el cual todos se encuentran nuevamente en el punto de partida al mismo tiempo. Este tiempo será el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de los tiempos individuales de cada ciclista.
Para Manuel, Carlos y Alejandro, calcularemos primero sus tiempos individuales para completar la pista de 900 m con sus respectivas velocidades.
El tiempo, \( t \), se calcula dividiendo la distancia, \( d \), por la velocidad, \( v \), usando la fórmula:
\[ t = \frac{d}{v} \]
Para Manuel:
\[ t_{Manuel} = \frac{900 \text{ m}}{20 \text{ m/s}} = 45 \text{ s} \]
Para Carlos:
\[ t_{Carlos} = \frac{900 \text{ m}}{25 \text{ m/s}} = 36 \text{ s} \]
Para Alejandro:
\[ t_{Alejandro} = \frac{900 \text{ m}}{30 \text{ m/s}} = 30 \text{ s} \]
Ahora debemos encontrar el MCM de estos tres tiempos (45 s, 36 s y 30 s) para saber después de cuánto tiempo volverán a encontrarse en el punto de partida simultáneamente. Dado que es muy probable que los números no tengan un MCM pequeño y directo, podemos descomponer los tiempos en factores primos para encontrar el MCM.
Descomponemos cada tiempo en sus factores primos:
- \( 45 = 3^2 \times 5 \)
- \( 36 = 2^2 \times 3^2 \)
- \( 30 = 2 \times 3 \times 5 \)
El MCM será el producto de los factores primos elevados a su mayor exponente que aparece en cualquier descomposición:
- El factor 2 aparece con un máximo exponente de 2 (en 36).
- El factor 3 aparece con un máximo exponente de 2 (tanto en 45 como en 36).
- El factor 5 aparece con un máximo exponente de 1 (tanto en 45 como en 30).
Así que:
\[ \text{MCM} = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 36 \times 5 = 180 \]
Por lo tanto, el tiempo después del cual se encontrarán simultáneamente en el punto de partida es 180 segundos.
Para saber cuántas vueltas ha dado cada ciclista en 180 segundos, debemos dividir ese tiempo por el tiempo que le toma completar una vuelta:
Vueltas de Manuel:
\[ \text{Vueltas}_{Manuel} = \frac{180 \text{ s}}{45 \text{ s/vuelta}} = 4 \text{ vueltas} \]
Vueltas de Carlos:
\[ \text{Vueltas}_{Carlos} = \frac{180 \text{ s}}{36 \text{ s/vuelta}} = 5 \text{ vueltas} \]
Vueltas de Alejandro:
\[ \text{Vueltas}_{Alejandro} = \frac{180 \text{ s}}{30 \text{ s/vuelta}} = 6 \text{ vueltas} \]
Por lo tanto, después de 180 segundos, Manuel habrá dado 4 vueltas, Carlos 5 vueltas y Alejandro 6 vueltas.
