Para resolver o problema de determinar o tempo mínimo necessário para que um capital aplicado a juros simples dobre de valor com uma taxa de 2% ao mês, utilizaremos a fórmula dos juros simples:
\[ I = P \cdot r \cdot t \]
Onde:
\( I \) é o montante de juros ganhos,
\( P \) é o capital inicial,
\( r \) é a taxa de juros (por período de tempo), e
\( t \) é o tempo da aplicação (em períodos).
O objetivo é dobrar o capital, o que significa que os juros \( I \) ganhos devem ser iguais ao capital inicial \( P \). Assim, temos:
\[ P = P \cdot r \cdot t \]
Se queremos isolar o tempo \( t \), dividimos ambos os lados da equação por \( P \cdot r \):
\[ \frac{P}{P \cdot r} = t \]
Simplificando:
\[ \frac{1}{r} = t \]
Neste caso, temos uma taxa de juros de 2% ao mês, que, em forma decimal, é 0,02 ao mês. Assim:
\[ t = \frac{1}{0,02} \]
Calculando a expressão acima, obtemos:
\[ t = \frac{1}{0,02} = \frac{100}{2} = 50 \]
Portanto, o tempo mínimo necessário para que um capital seja dobrado com uma aplicação a uma taxa de juros simples de 2% ao mês é de 50 meses.
A resposta correta é a alternativa (D) 50 meses.
