Para resolver este problema, necesitamos determinar todos los divisores de 20,400 que son números impares. Los divisores impares son aquellos números que pueden dividir a 20,400 sin dejar residuo y que, además, son impares.
Para realizar esto de manera eficiente, primero factorizaremos el número 20,400 en sus factores primos. Esto nos permitirá generar los divisores impares al combinar los factores de manera adecuada.
Factorizando 20,400:
20,400 = 2^4 * 5^1 * 51^1
Aquí, 51 puede ser igualmente descompuesto en factores primos:
51 = 3^1 * 17^1
Incorporando esto en la factorización inicial:
20,400 = 2^4 * 5^1 * 3^1 * 17^1
Ya que estamos interesados solo en los divisores impares, podemos ignorar el factor 2, ya que cualquier número que lo incluya será par. Nos enfocaremos en los factores primos impares, que son 5, 3 y 17.
Usando la propiedad de que el número total de divisores de un número n dado por su factorización prima n = p^a * q^b * r^c * ..., donde p, q, r, ..., son primos y a, b, c, ..., son sus respectivas potencias, es (a+1)(b+1)(c+1)..., para los divisores impares nos interesan solo los factores impares.
En nuestro caso, tenemos:
- El factor primo 5 aparece 1 vez. Por lo tanto, las potencias de 5 que podemos usar son 5^0 y 5^1 (recordando que cualquier número elevado a 0 es 1 y nos proporciona un factor que es un número impar).
- El factor primo 3 aparece 1 vez, similar al caso de 5, lo cual nos da 3^0 y 3^1.
- El factor primo 17 aparece 1 vez, lo cual nos da 17^0 y 17^1.
Entonces, para contar todos los divisores impares, multiplicamos las cantidades de las potencias de cada factor primo impar que podemos usar:
- Para el factor 5: 2 opciones (5^0 y 5^1)
- Para el factor 3: 2 opciones (3^0 y 3^1)
- Para el factor 17: 2 opciones (17^0 y 17^1)
Multiplicamos el número de opciones para cada factor primo impar:
2 (por el factor 5) * 2 (por el factor 3) * 2 (por el factor 17) = 4 * 2 = 8
Así que hay 8 divisores impares de 20,400. Estos divisores son el resultado de todas las combinaciones posibles de los factores primos impares elevados a sus respectivas potencias (incluyendo la potencia 0).
