Para resolver este problema, podemos utilizar las leyes de Newton y las ecuaciones de movimiento.
Dado que hay una fuerza de fricción involucrada, primero encontraremos la fuerza de fricción que actúa sobre el bloque. La fuerza de fricción está dada por:
\[ F_{\text{fricción}} = \mu_k \cdot F_{\text{normal}} \]
Donde:
- \( \mu_k \) es el coeficiente de fricción cinética,
- \( F_{\text{normal}} \) es la fuerza normal que actúa sobre el bloque.
La fuerza normal es igual al peso del bloque si no hay movimiento en la dirección perpendicular a la superficie:
\[ F_{\text{normal}} = P = 96 \, \text{lb} \]
Por lo tanto, la fuerza de fricción será:
\[ F_{\text{fricción}} = 0.2 \times 96 = 19.2 \, \text{lb} \]
Ahora, apliquemos la segunda ley de Newton en la dirección de la fuerza resultante:
\[ F_{\text{resultante}} = m \cdot a \]
Donde:
- \( F_{\text{resultante}} \) es la fuerza resultante,
- \( m \) es la masa del bloque,
- \( a \) es la aceleración.
La fuerza resultante es la suma de la fuerza aplicada en el extremo libre y la fuerza de fricción:
\[ F_{\text{resultante}} = P_{\text{aplicada}} - F_{\text{fricción}} \]
Dado que la masa del bloque es \( \frac{96 \, \text{lb}}{32.2 \, \text{ft/s}^2} \) (debido a que la masa es igual al peso dividido por la aceleración debida a la gravedad), podemos reescribir la ecuación de la segunda ley de Newton como:
\[ P_{\text{aplicada}} - F_{\text{fricción}} = m \cdot a \]
\[ P_{\text{aplicada}} = m \cdot a + F_{\text{fricción}} \]
Sustituyendo los valores dados:
\[ P_{\text{aplicada}} = \frac{96 \, \text{lb}}{32.2 \, \text{ft/s}^2} \times \frac{4 \, \text{ft}}{3 \, \text{s}^2} + 19.2 \, \text{lb} \]
\[ P_{\text{aplicada}} = \frac{96 \times 4}{32.2 \times 3} + 19.2 \]
\[ P_{\text{aplicada}} = \frac{384}{96.6} + 19.2 \]
\[ P_{\text{aplicada}} \approx 3.98 + 19.2 \]
\[ P_{\text{aplicada}} \approx 23.18 \, \text{lb} \]
Por lo tanto, se necesitará aplicar una fuerza de aproximadamente \( 23.18 \, \text{lb} \) en el extremo libre para que el sistema tenga una aceleración de \( \frac{4 \, \text{ft/s}^2}{3} \).