Para resolver este problema, necesitamos encontrar cuántas fracciones con denominador 144 están en el intervalo (1/4, 7/12).
Primero, convertimos las fracciones 1/4 y 7/12 al mismo denominador, que en este caso es 144.
1. Convertir 1/4 al denominador 144:
[tex]\[
1/4 = x/144
\][/tex]
Para encontrar el numerador [tex]\( x \)[/tex], multiplicamos tanto el numerador como el denominador de [tex]\( 1/4 \)[/tex] por 36 (ya que [tex]\( 4 \times 36 = 144 \)[/tex]):
[tex]\[
1 \times 36 / 4 \times 36 = 36 / 144
\][/tex]
Entonces, [tex]\( 1/4 \)[/tex] es equivalente a [tex]\( 36/144 \)[/tex].
2. Convertir 7/12 al denominador 144:
[tex]\[
7/12 = y/144
\][/tex]
Para encontrar el numerador [tex]\( y \)[/tex], multiplicamos tanto el numerador como el denominador de [tex]\( 7/12 \)[/tex] por 12 (ya que [tex]\( 12 \times 12 = 144 \)[/tex]):
[tex]\[
7 \times 12 / 12 \times 12 = 84 / 144
\][/tex]
Entonces, [tex]\( 7/12 \)[/tex] es equivalente a [tex]\( 84/144 \)[/tex].
Ahora que tenemos las fracciones convertidas al mismo denominador:
- Queremos fracciones mayores que [tex]\( 36/144 \)[/tex] y menores que [tex]\( 84/144 \)[/tex].
Debemos contar las fracciones que tienen denominador 144 y cuyos numeradores están en el intervalo abierto (36, 84). Es decir, necesitamos numeradores que sean enteros y estén estríctamente entre 36 y 84.
3. Contar los numeradores enteros en el intervalo (36, 84):
[tex]\[
37, 38, 39, \ldots, 83
\][/tex]
Esto es una secuencia de 37 hasta 83. Para contar cuántos números hay en este intervalo, calculamos el número de elementos de esta secuencia:
[tex]\[
84 - 36 - 2 = 83 - 37 + 1
\][/tex]
4. Calcular la cantidad de elementos:
[tex]\[
83 - 37 + 1 = 47
\][/tex]
Entonces, hay 47 fracciones con denominador 144 que son mayores que [tex]\( 1/4 \)[/tex] y menores que [tex]\( 7/12 \)[/tex].
