Vamos a resolver el problema paso a paso. Queremos encontrar una fracción [tex]\( f \)[/tex] que cumpla con la ecuación:
[tex]\[ f^3 + f = \left( \frac{117}{36} \right) f^3 \][/tex]
Primero, simplificamos el factor [tex]\(\frac{117}{36}\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{117}{36} = \frac{117 \div 3}{36 \div 3} = \frac{39}{12} = \frac{39 \div 3}{12 \div 3} = \frac{13}{4} \][/tex]
Entonces la ecuación se convierte en:
[tex]\[ f^3 + f = \left( \frac{13}{4} \right) f^3 \][/tex]
Multiplicamos ambos lados por 4 para eliminar la fracción:
[tex]\[ 4f^3 + 4f = 13f^3 \][/tex]
Reorganizamos los términos para tener todo de un lado de la ecuación:
[tex]\[ 4f^3 + 4f - 13f^3 = 0 \][/tex]
[tex]\[ -9f^3 + 4f = 0 \][/tex]
Factorizamos [tex]\( f \)[/tex]:
[tex]\[ f(-9f^2 + 4) = 0 \][/tex]
Esto implica que sus soluciones son:
[tex]\[ f = 0 \quad \text{o} \quad -9f^2 + 4 = 0 \][/tex]
Para la segunda solución:
[tex]\[ -9f^2 + 4 = 0 \][/tex]
[tex]\[ 9f^2 = 4 \][/tex]
[tex]\[ f^2 = \frac{4}{9} \][/tex]
[tex]\[ f = \pm \frac{2}{3} \][/tex]
Ya que una fracción negativa no es una opción válida en este context, solamente consideramos:
[tex]\[ f = \frac{2}{3} \][/tex]
Entonces, la fracción buscada es:
[tex]\[ \boxed{\frac{2}{3}} \][/tex]
Opción (d) es la correcta.
