¡Claro! Vamos a resolver este ejercicio para determinar la resistencia de un alambre de aluminio de 50 metros de largo y 5 mm de diámetro a una temperatura de 0°C.
Utilizaremos la fórmula para la resistencia de un conductor:
[tex]\[ R = \rho \frac{L}{A} \][/tex]
Donde:
- [tex]\( R \)[/tex] es la resistencia,
- [tex]\( \rho \)[/tex] es la resistividad del material (en este caso, aluminio),
- [tex]\( L \)[/tex] es la longitud del alambre,
- [tex]\( A \)[/tex] es el área de la sección transversal del alambre.
### Paso 1: Valores dados
- Longitud del alambre, [tex]\( L = 50 \)[/tex] metros,
- Diámetro del alambre, [tex]\( d = 5 \)[/tex] mm = 0.005 metros (dado que 1 mm = 0.001 metros),
- Resistividad del aluminio, [tex]\( \rho \)[/tex] es típicamente [tex]\(2.82 \times 10^{-8}\)[/tex] ohm·metro a 0°C.
### Paso 2: Calcular el área de la sección transversal ([tex]\( A \)[/tex])
El alambre tiene una sección transversal circular, así que utilizamos la fórmula para el área de un círculo:
[tex]\[ A = \pi \left( \frac{d}{2} \right)^2 \][/tex]
Primero, encontramos el radio ([tex]\( r \)[/tex]):
[tex]\[ r = \frac{d}{2} = \frac{0.005}{2} = 0.0025 \, \text{metros} \][/tex]
Luego, calculamos el área:
[tex]\[ A = \pi \left( 0.0025 \right)^2 \][/tex]
[tex]\[ A = \pi \left( 0.0025 \times 0.0025 \right) \][/tex]
[tex]\[ A = \pi \left( 6.25 \times 10^{-6} \right) \][/tex]
[tex]\[ A = 3.1416 \times 6.25 \times 10^{-6} \][/tex]
[tex]\[ A \approx 1.9635 \times 10^{-5} \, \text{metros}^2 \][/tex]
### Paso 3: Calcular la resistencia ([tex]\( R \)[/tex])
Usamos la fórmula de resistencia con los valores calculados:
[tex]\[ R = \rho \frac{L}{A} \][/tex]
Sustituimos los valores:
[tex]\[ R = 2.82 \times 10^{-8} \cdot \frac{50}{1.9635 \times 10^{-5}} \][/tex]
Calculamos el valor de la fracción primero:
[tex]\[ \frac{50}{1.9635 \times 10^{-5}} \approx 2.547 \times 10^{6} \][/tex]
Finalmente, multiplicamos la resistividad por este valor:
[tex]\[ R = 2.82 \times 10^{-8} \times 2.547 \times 10^{6} \][/tex]
[tex]\[ R \approx 2.82 \times 2.547 \times 10^{-2} \][/tex]
[tex]\[ R \approx 7.18 \times 10^{-2} \][/tex]
[tex]\[ R \approx 0.0718 \, \text{ohmios} \][/tex]
### Resultado final:
La resistencia del alambre de aluminio de 50 metros de largo y 5 mm de diámetro a 0°C es aproximadamente [tex]\( 0.0718 \, \text{ohmios} \)[/tex].
