Para resolver este problema, usaremos la fórmula del interés compuesto:
[tex]\[ A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} \][/tex]
donde:
- [tex]\( A \)[/tex] es el monto total acumulado después de [tex]\( t \)[/tex] años, incluyendo los intereses.
- [tex]\( P \)[/tex] es el capital inicial (o principal).
- [tex]\( r \)[/tex] es la tasa de interés anual (expresada como un decimal).
- [tex]\( n \)[/tex] es el número de veces que se capitaliza el interés por año.
- [tex]\( t \)[/tex] es el número de años.
Dado:
- Capital inicial [tex]\( P = 2000 \)[/tex] dólares.
- Tasa de interés anual [tex]\( r = 5.7\% = 0.057 \)[/tex].
- El interés se capitaliza mensualmente, así que [tex]\( n = 12 \)[/tex].
- Período de tiempo [tex]\( t = 10 \)[/tex] años.
Vamos a sustituir estos valores en la fórmula:
[tex]\[ A = 2000 \left(1 + \frac{0.057}{12}\right)^{12 \times 10} \][/tex]
Primero calculamos [tex]\( \frac{0.057}{12} \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{0.057}{12} \approx 0.00475 \][/tex]
Luego agregamos 1 a este resultado:
[tex]\[ 1 + 0.00475 = 1.00475 \][/tex]
Ahora elevamos este resultado a la potencia de [tex]\( 12 \times 10 = 120 \)[/tex]:
[tex]\[ (1.00475)^{120} \approx 1.774799 \][/tex]
Finalmente, multiplicamos este resultado por el capital inicial [tex]\( P \)[/tex]:
[tex]\[ A = 2000 \times 1.774799 \approx 3549.60 \][/tex]
Por lo tanto, el monto total acumulado después de 10 años, redondeado al centavo más cercano, es:
[tex]\[ A \approx 3549.60 \][/tex]
Así que, la cantidad total después de 10 años será [tex]\( \$3549.60 \)[/tex].
