Answer:
Pentru a demonstra că suma \(2^0 + 2^1 + 2^2 + \ldots + 2^{2011}\) este divizibilă cu 15, putem folosi proprietăți ale seriilor geometrice și ale aritmeticii modului.
Observăm că termenii din serie formează o progresie geometrică cu rația 2 și primul termen \(a = 2^0 = 1\).
Suma unei serii geometrice de \(n + 1\) termeni este dată de formula:
\[ S = a \frac{r^{n+1} - 1}{r - 1} \]
unde \(a\) este primul termen, \(r\) este rația și \(n\) este numărul de termeni minus 1.
Aplicând această formulă în cazul nostru:
\[ S = 1 \cdot \frac{2^{2012} - 1}{2 - 1} = 2^{2012} - 1 \]
Acum trebuie să demonstrăm că \(2^{2012} - 1\) este divizibil cu 15. Putem face acest lucru verificând dacă \(2^{2012} - 1\) este divizibil cu ambii factori primi ai lui 15, adică 3 și 5.
### Divizibilitate cu 3:
Orice putere a lui 2 modulo 3 se repetă într-un ciclu de lungime 2:
\[ 2^1 \equiv 2 \pmod{3} \]
\[ 2^2 \equiv 1 \pmod{3} \]
Deci pentru orice număr par \(k\),
\[ 2^{2k} \equiv 1 \pmod{3} \]
Pentru \(2012\), care este un număr par, avem:
\[ 2^{2012} \equiv 1 \pmod{3} \]
Deci,
\[ 2^{2012} - 1 \equiv 0 \pmod{3} \]
### Divizibilitate cu 5:
Orice putere a lui 2 modulo 5 se repetă într-un ciclu de lungime 4:
\[ 2^1 \equiv 2 \pmod{5} \]
\[ 2^2 \equiv 4 \pmod{5} \]
\[ 2^3 \equiv 3 \pmod{5} \]
\[ 2^4 \equiv 1 \pmod{5} \]
Deci pentru orice număr \(k\) multiplu de 4,
\[ 2^{4k} \equiv 1 \pmod{5} \]
Pentru \(2012\), avem:
\[ 2012 \div 4 = 503 \]
Deci:
\[ 2^{2012} \equiv 1 \pmod{5} \]
Deci,
\[ 2^{2012} - 1 \equiv 0 \pmod{5} \]
Pentru că \(2^{2012} - 1\) este divizibil atât cu 3, cât și cu 5, rezultă că este divizibil și cu 15.
Prin urmare, suma \(2^0 + 2^1 + 2^2 + \ldots + 2^{2011}\) este divizibilă cu 15.