Claro, resolvamos este problema paso a paso.
Para calcular el saldo insoluto después de hacer pagos mensuales durante 7 meses con una tasa de interés mensual, necesitamos utilizar una serie de fórmulas financieras.
### Pasos para calcular el pago mensual
Primero, calculamos el pago mensual usando la fórmula de anualidad para pagos fijos:
[tex]\[ P = \frac{R \cdot i}{1 - (1+i)^{-n}} \][/tex]
donde:
- [tex]\( P \)[/tex] es el pago mensual (lo que queremos encontrar).
- [tex]\( R \)[/tex] es el monto del préstamo inicial (en este caso, \[tex]$ 30,000).
- \( i \) es la tasa de interés mensual (5% o 0.05 en forma decimal).
- \( n \) es el número de pagos mensuales (18 meses).
\[ P = \frac{30000 \cdot 0.05}{1 - (1 + 0.05)^{-18}} \]
Primero, calculamos la parte del denominador:
\[ 1 - (1 + 0.05)^{-18} \]
Calculamos \( (1 + 0.05)^{-18} \):
\[ (1.05)^{-18} \approx 0.4314 \]
Entonces el denominador es:
\[ 1 - 0.4314 \approx 0.5686 \]
Ahora ponemos esto en nuestra ecuación original:
\[ P = \frac{30000 \times 0.05}{0.5686} \approx \frac{1500}{0.5686} \approx 2637.43 \]
Así que el pago mensual aproximado es de \$[/tex]2637.43.
### Cálculo del saldo insoluto después de 7 meses
Para calcular el saldo insoluto después de 7 meses, usamos la fórmula de amortizacion:
[tex]\[ Saldo_{t} = R \cdot (1 + i)^t - P \cdot \left( \frac{(1 + i)^t - 1}{i} \right) \][/tex]
donde:
- [tex]\( Saldo_{t} \)[/tex] es el saldo restante después de [tex]\( t \)[/tex] pagos (lo que queremos encontrar).
- [tex]\( t \)[/tex] es el número de meses transcurridos (7 meses).
- Otros valores ya los conocemos: [tex]\( R = 30000 \)[/tex], [tex]\( i = 0.05 \)[/tex], [tex]\( P \approx 2637.43 \)[/tex].
Primero, calculamos la parte de [tex]\( R \cdot (1 + 0.05)^7 \)[/tex]:
[tex]\[ 30000 \cdot (1.05)^7 \][/tex]
[tex]\[ (1.05)^7 \approx 1.4071 \][/tex]
Así que:
[tex]\[ 30000 \cdot 1.4071 \approx 42213 \][/tex]
Después, calculamos la parte de [tex]\( P \cdot \left( \frac{(1 + 0.05)^7 - 1}{0.05} \right) \)[/tex]:
[tex]\[ (1.05)^7 - 1 \approx 1.4071 - 1 = 0.4071 \][/tex]
[tex]\[ \frac{0.4071}{0.05} \approx 8.142 \][/tex]
Finalmente, multiplicamos esto por [tex]\( P \)[/tex]:
[tex]\[ 2637.43 \cdot 8.142 \approx 21472.95 \][/tex]
Restamos esta cantidad del monto original aumentado por el interés:
[tex]\[ 42213 - 21472.95 \approx 20740.05 \][/tex]
Entonces, el saldo insoluto después de 7 meses es aproximadamente \$20,740.05.
