Para determinar la velocidad a la que se lanzaría un cuerpo de 15 kg que se arrastra por el suelo y recorre 3 metros antes de detenerse, conociendo que el coeficiente de fricción es 0.2, seguiremos estos pasos:
### Datos
- Masa del cuerpo, [tex]\( m = 15 \)[/tex] kg
- Distancia recorrida, [tex]\( d = 3 \)[/tex] m
- Coeficiente de fricción, [tex]\( \mu = 0.2 \)[/tex]
- Aceleración debido a la gravedad, [tex]\( g = 9.81 \)[/tex] m/s²
### Paso 1: Calcular la fuerza de fricción
La fuerza de fricción [tex]\( F_{\text{fricción}} \)[/tex] se calcula con la fórmula:
[tex]\[ F_{\text{fricción}} = \mu \cdot m \cdot g \][/tex]
Al sustituir los valores:
[tex]\[ F_{\text{fricción}} = 0.2 \cdot 15 \cdot 9.81 \][/tex]
[tex]\[ F_{\text{fricción}} = 29.43 \, \text{N} \][/tex]
### Paso 2: Calcular el trabajo realizado por la fricción
El trabajo [tex]\( W_{\text{fricción}} \)[/tex] realizado por la fricción se puede encontrar con la fórmula:
[tex]\[ W_{\text{fricción}} = F_{\text{fricción}} \cdot d \][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[ W_{\text{fricción}} = 29.43 \cdot 3 \][/tex]
[tex]\[ W_{\text{fricción}} = 88.29 \, \text{J} \][/tex]
### Paso 3: Relacionar el trabajo con la pérdida de energía cinética
El trabajo realizado por la fricción es igual a la pérdida de la energía cinética del cuerpo. La energía cinética inicial [tex]\( E_{\text{cinética}} \)[/tex] se da por:
[tex]\[ E_{\text{cinética}} = \frac{1}{2} m v_{\text{inicial}}^2 \][/tex]
Dado que el cuerpo se detiene, toda la energía cinética inicial se convierte en trabajo realizado por la fricción:
[tex]\[ \frac{1}{2} m v_{\text{inicial}}^2 = W_{\text{fricción}} \][/tex]
### Paso 4: Despejar la velocidad inicial
Ahora, aislamos [tex]\( v_{\text{inicial}} \)[/tex]:
[tex]\[ v_{\text{inicial}}^2 = \frac{2 W_{\text{fricción}}}{m} \][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[ v_{\text{inicial}}^2 = \frac{2 \cdot 88.29}{15} \][/tex]
[tex]\[ v_{\text{inicial}}^2 = 11.772 \][/tex]
Finalmente, calculamos la velocidad inicial:
[tex]\[ v_{\text{inicial}} = \sqrt{11.772} \][/tex]
[tex]\[ v_{\text{inicial}} \approx 3.43 \, \text{m/s} \][/tex]
### Resumen de los resultados
- Fuerza de fricción: [tex]\( 29.43 \, \text{N} \)[/tex]
- Trabajo realizado por la fricción: [tex]\( 88.29 \, \text{J} \)[/tex]
- Velocidad inicial del cuerpo: [tex]\( 3.43 \, \text{m/s} \)[/tex]
Por lo tanto, la velocidad a la que se lanza el cuerpo es aproximadamente [tex]\( 3.43 \, \text{m/s} \)[/tex].
