Claro, vamos a resolver este problema de física paso a paso utilizando la ley de la gravitación universal de Newton.
### Datos:
1. Masa del primer cuerpo ([tex]\( m_1 \)[/tex]): 45 gramos
2. Distancia de separación ([tex]\( r \)[/tex]): 3 cm
3. Fuerza de atracción gravitacional ([tex]\( F \)[/tex]): [tex]\( 5 \times 10^{-2} \)[/tex] dinas
### Conversión de Unidades:
1. Convertimos la masa del primer cuerpo a kilogramos:
[tex]\[ m_1 = 45\, \text{g} = 45 \times 10^{-3}\, \text{kg} \][/tex]
[tex]\[ m_1 = 0.045\, \text{kg} \][/tex]
2. Convertimos la distancia de separación a metros:
[tex]\[ r = 3\, \text{cm} = 3 \times 10^{-2}\, \text{m} \][/tex]
[tex]\[ r = 0.03\, \text{m} \][/tex]
3. Convertimos la fuerza gravitacional a Newtons:
[tex]\[ F = 5 \times 10^{-2}\, \text{dinas} \][/tex]
Sabemos que:
[tex]\[ 1\, \text{dina} = 10^{-5}\, \text{Newtons} \][/tex]
Por lo tanto:
[tex]\[ F = 5 \times 10^{-2} \times 10^{-5}\, \text{Newtons} \][/tex]
[tex]\[ F = 5 \times 10^{-7}\, \text{Newtons} \][/tex]
### Fórmula:
La ley de la gravitación universal de Newton es:
[tex]\[ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \][/tex]
Donde:
- [tex]\( F \)[/tex] es la fuerza gravitacional,
- [tex]\( G \)[/tex] es la constante de gravitación universal ([tex]\(6.67430 \times 10^{-11}\, \text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2}\)[/tex]),
- [tex]\( m_1 \)[/tex] y [tex]\( m_2 \)[/tex] son las masas de los dos cuerpos,
- [tex]\( r \)[/tex] es la distancia entre los centros de los dos cuerpos.
Solvamos para [tex]\( m_2 \)[/tex]:
[tex]\[ m_2 = \frac{F \cdot r^2}{G \cdot m_1} \][/tex]
### Sustitución:
Sustituimos los valores dados y convertidos en la fórmula:
[tex]\[ m_2 = \frac{5 \times 10^{-7}\, \text{Newtons} \cdot (0.03\, \text{m})^2}{6.67430 \times 10^{-11}\, \text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2} \cdot 0.045\, \text{kg}} \][/tex]
### Cálculo:
1. Calculamos el numerador:
[tex]\[ 5 \times 10^{-7} \times (0.03)^2 = 5 \times 10^{-7} \times 0.0009 = 4.5 \times 10^{-10} \text{Newtons} \cdot \text{m}^2 \][/tex]
2. Calculamos el denominador:
[tex]\[ 6.67430 \times 10^{-11} \times 0.045 = 3.003435 \times 10^{-12} \text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2} \][/tex]
3. Finalmente, dividimos para encontrar [tex]\( m_2 \)[/tex]:
[tex]\[ m_2 = \frac{4.5 \times 10^{-10}}{3.003435 \times 10^{-12}} \approx 149.89\, \text{kg} \][/tex]
### Resultado:
La masa del segundo cuerpo ([tex]\( m_2 \)[/tex]) debe ser aproximadamente [tex]\( 149.89\, \text{kg} \)[/tex].
