Para resolver el problema, debemos encontrar los valores de [tex]\(x\)[/tex] que cumplen la ecuación [tex]\(x^2 = 4x - 3\)[/tex]. Vamos a seguir los siguientes pasos:
### Paso 1: Plantear la ecuación
El enunciado nos dice que "el cuadrado de un número es 3 menos que cuatro veces el número". Esto se puede traducir a la siguiente ecuación:
[tex]\[x^2 = 4x - 3\][/tex]
### Paso 2: Reorganizar la ecuación
Vamos a reorganizar la ecuación para que esté en la forma estándar [tex]\(ax^2 + bx + c = 0\)[/tex]. Restamos [tex]\(4x\)[/tex] y sumamos [tex]\(3\)[/tex] a ambos lados:
[tex]\[x^2 - 4x + 3 = 0\][/tex]
### Paso 3: Factorizar la ecuación cuadrática
Para resolver la ecuación, busquemos factores que, cuando se multiplican, nos den [tex]\(x^2 - 4x + 3\)[/tex]. Factorizaremos la ecuación:
[tex]\[(x - 1)(x - 3) = 0\][/tex]
### Paso 4: Encontrar las soluciones
Una ecuación factorizada igual a cero tiene soluciones donde cada factor es igual a cero:
[tex]\[x - 1 = 0 \quad \text{o} \quad x - 3 = 0\][/tex]
Resolviendo estas ecuaciones, obtenemos:
[tex]\[x = 1 \quad \text{y} \quad x = 3\][/tex]
### Paso 5: Verificar las soluciones
Vamos a verificar ambas soluciones volviendo a la ecuación original:
1. Si [tex]\(x = 1\)[/tex]:
[tex]\[1^2 = 1\][/tex]
[tex]\[4 \cdot 1 - 3 = 1\][/tex]
Ambas partes son iguales, así que [tex]\(x = 1\)[/tex] es una solución correcta.
2. Si [tex]\(x = 3\)[/tex]:
[tex]\[3^2 = 9\][/tex]
[tex]\[4 \cdot 3 - 3 = 9\][/tex]
Ambas partes son iguales, así que [tex]\(x = 3\)[/tex] es una solución correcta.
### Paso 6: Ver las opciones dadas
Las opciones son: -3, 1, -1, 0, 3
Ya hemos validado nuestras soluciones y son 1 y 3.
### Conclusión
Los valores que podrían ser el número son:
[tex]\[ \boxed{1 \quad \text{y} \quad 3} \][/tex]
Por lo tanto, las respuestas correctas entre las opciones dadas son 1 y 3.
