Claro, vamos a resolver este problema paso a paso.
1. Identificar las variables:
- Sea [tex]\( x \)[/tex] el ancho del terreno en metros.
- El largo del terreno es 3 veces el ancho, es decir, [tex]\( 3x \)[/tex] metros.
2. Relacionar el área con las dimensiones:
- El área del terreno rectangular se puede calcular multiplicando el largo por el ancho.
- Dado que el área es 432 metros cuadrados, tenemos:
[tex]\[
\text{Área} = \text{ancho} \times \text{largo} = x \times 3x = 432
\][/tex]
3. Formular y resolver la ecuación cuadrática:
- De la expresión anterior, obtenemos:
[tex]\[
x \times 3x = 432
\][/tex]
[tex]\[
3x^2 = 432
\][/tex]
- Despejamos [tex]\( x^2 \)[/tex]:
[tex]\[
x^2 = \frac{432}{3}
\][/tex]
[tex]\[
x^2 = 144
\][/tex]
- Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados para encontrar el valor de [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
x = \sqrt{144} = 12
\][/tex]
4. Calcular las dimensiones del terreno:
- Ancho ([tex]\( x \)[/tex]): 12 metros.
- Largo ([tex]\( 3x \)[/tex]): [tex]\( 3 \times 12 = 36 \)[/tex] metros.
5. Calcular el perímetro del terreno:
- El perímetro de un rectángulo se calcula como la suma de todos sus lados, es decir, dos veces la suma del largo y el ancho:
[tex]\[
\text{Perímetro} = 2 \times (\text{largo} + \text{ancho}) = 2 \times (36 + 12)
\][/tex]
[tex]\[
\text{Perímetro} = 2 \times 48 = 96 \text{ metros}
\][/tex]
Entonces, se necesitan 96 metros de alambre como mínimo para cercar el terreno.
