Para resolver este problema, seguiremos los pasos detallados a continuación:
1. Entender el Problema: Necesitamos encontrar la longitud de la pasarela que sube la colina. Sabemos que la colina tiene una altura de 50 pies y que el ángulo de elevación desde el pie de la colina hasta la cima es de 17°.
2. Identificar los Elementos del Triángulo:
- La altura de la colina (50 pies) representa el cateto opuesto en un triángulo rectángulo.
- La pasarela que sube la colina es la hipotenusa del triángulo rectángulo.
- El ángulo de elevación (17°) es el ángulo entre el suelo y la línea de visión hacia la cima de la colina.
3. Usar Trigonometría:
- Utilizamos la función seno que relaciona el ángulo de un triángulo rectángulo con la longitud del cateto opuesto y la hipotenusa.
- La fórmula del seno es:
[tex]\[
\sin(\text{ángulo}) = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}
\][/tex]
4. Despejar la Hipotenusa:
- Reorganizamos la fórmula para resolver la hipotenusa:
[tex]\[
\text{hipotenusa} = \frac{\text{cateto opuesto}}{\sin(\text{ángulo})}
\][/tex]
- Sustituimos los valores conocidos:
[tex]\[
\text{hipotenusa} = \frac{50 \text{ pies}}{\sin(17°)}
\][/tex]
5. Calcular:
- Primero, convertimos el ángulo de grados a radianes:
[tex]\[
17° \approx 0.2967 \text{ radianes}
\][/tex]
- Luego, calculamos el valor de [tex]\(\sin(17°)\)[/tex]:
[tex]\[
\sin(17°) \approx 0.2924
\][/tex]
- Finalmente, utilizamos estos valores para encontrar la longitud de la hipotenusa:
[tex]\[
\text{hipotenusa} \approx \frac{50 \text{ pies}}{0.2924} \approx 171.02 \text{ pies}
\][/tex]
Así que, la longitud de la pasarela que sube la colina es aproximadamente 171.02 pies.
¡Espero que esto haya sido útil! Si tienes más preguntas, no dudes en preguntar.
