En tu Cuaderno:
1. Transcribir a tu cuaderno: TEMA, CONCEPTOS de cada clase.
Ejercicio
1) Un barco intenta atravesar un río. El vector de posición del barco, en unidades del Sl, r(t) = 4t²i + tj.
a. La expresión del vector velocidad instantánea;
b. El valor del vector velocidad instantánea para t = 3 s y su módulo.



Answer :

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### TEMA: Movimiento en el plano con vectores

### CONCEPTOS:
El objetivo es analizar el movimiento de un barco a través de un río utilizando vectores de posición y velocidad en un sistema de coordenadas.


### Ejercicio
Dado el vector de posición del barco en función del tiempo [tex]\( t \)[/tex], expresado en unidades del Sistema Internacional como:

[tex]\[ \mathbf{r}(t) = 4t^2\mathbf{i} + t\mathbf{j} \][/tex]

1) Expresión del vector velocidad instantánea:

Para encontrar la expresión del vector velocidad instantánea, debemos derivar el vector de posición [tex]\(\mathbf{r}(t)\)[/tex] respecto al tiempo [tex]\( t \)[/tex].

[tex]\[ \mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}(t)}{dt} \][/tex]

La derivada de cada componente del vector de posición con respecto al tiempo [tex]\( t \)[/tex] es:

- La componente [tex]\( x \)[/tex] de [tex]\(\mathbf{r}(t)\)[/tex] es [tex]\( 4t^2 \)[/tex]. Su derivada con respecto al tiempo [tex]\( t \)[/tex] es:

[tex]\[ \frac{d}{dt}(4t^2) = 8t \][/tex]

- La componente [tex]\( y \)[/tex] de [tex]\(\mathbf{r}(t)\)[/tex] es [tex]\( t \)[/tex]. Su derivada con respecto al tiempo [tex]\( t \)[/tex] es:

[tex]\[ \frac{d}{dt}(t) = 1 \][/tex]

Por lo tanto, la expresión del vector velocidad instantánea es:

[tex]\[ \mathbf{v}(t) = 8t\mathbf{i} + \mathbf{j} \][/tex]

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2) Valor del vector velocidad instantánea para [tex]\( t = 3 \)[/tex] s y su módulo:

Para encontrar el vector velocidad instantánea en [tex]\( t = 3 \)[/tex] s, sustituimos [tex]\( t = 3 \)[/tex] en la expresión del vector velocidad:

[tex]\[ \mathbf{v}(3) = 8 \cdot 3 \mathbf{i} + \mathbf{j} = 24\mathbf{i} + \mathbf{j} \][/tex]

Así, el vector velocidad instantánea en [tex]\( t = 3 \)[/tex] s es:

[tex]\[ \mathbf{v}(3) = [24, 1] \][/tex]

Ahora, para encontrar el módulo del vector velocidad instantánea, utilizamos la fórmula del módulo de un vector [tex]\(\mathbf{v} = a\mathbf{i} + b\mathbf{j} \)[/tex]:

[tex]\[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{a^2 + b^2} \][/tex]

Aplicando esto a nuestro vector [tex]\(\mathbf{v}(3) = [24, 1]\)[/tex]:

[tex]\[ \|\mathbf{v}(3)\| = \sqrt{24^2 + 1^2} = \sqrt{576 + 1} = \sqrt{577} \][/tex]

El módulo del vector velocidad instantánea para [tex]\( t = 3 \)[/tex] s es, aproximadamente:

[tex]\[ \|\mathbf{v}(3)\| \approx 24.02 \][/tex]

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Recapitulando, el vector velocidad instantánea en [tex]\( t = 3 \)[/tex] s es:

[tex]\[ \mathbf{v}(3) = [24, 1] \][/tex]

Y su módulo es, aproximadamente:

[tex]\[ \|\mathbf{v}(3)\| \approx 24.02 \][/tex]

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