Claro, podemos resolver as equações fornecidas passo a passo para encontrar os valores de [tex]\( x \)[/tex].
### Parte (a): Resolva [tex]\( x^2 - x - 6 = 0 \)[/tex]
Esta é uma equação quadrática na forma padrão [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex] onde [tex]\( a = 1 \)[/tex], [tex]\( b = -1 \)[/tex], e [tex]\( c = -6 \)[/tex].
Para resolver esta equação, podemos utilizar a fórmula quadrática, [tex]\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)[/tex].
1. Identificar os coeficientes: [tex]\( a = 1 \)[/tex], [tex]\( b = -1 \)[/tex], [tex]\( c = -6 \)[/tex].
2. Calcular o discriminante: [tex]\( \Delta = b^2 - 4ac \)[/tex].
[tex]\[
\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25
\][/tex]
3. Calcular as raízes usando a fórmula quadrática:
[tex]\[
x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 5}{2}
\][/tex]
4. Encontrar as duas soluções:
[tex]\[
x_1 = \frac{1 + 5}{2} = 3
\][/tex]
[tex]\[
x_2 = \frac{1 - 5}{2} = -2
\][/tex]
Portanto, as soluções para a equação [tex]\( x^2 - x - 6 = 0 \)[/tex] são [tex]\( x = 3 \)[/tex] e [tex]\( x = -2 \)[/tex].
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### Parte (b): Resolva [tex]\( 2x^2 + 11x - 105 = 0 \)[/tex]
Novamente, temos uma equação quadrática na forma padrão [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex] onde [tex]\( a = 2 \)[/tex], [tex]\( b = 11 \)[/tex], e [tex]\( c = -105 \)[/tex].
Podemos usar a fórmula quadrática para resolver esta equação.
1. Identificar os coeficientes: [tex]\( a = 2 \)[/tex], [tex]\( b = 11 \)[/tex], [tex]\( c = -105 \)[/tex].
2. Calcular o discriminante: [tex]\( \Delta = b^2 - 4ac \)[/tex].
[tex]\[
\Delta = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-105) = 121 + 840 = 961
\][/tex]
3. Calcular as raízes usando a fórmula quadrática:
[tex]\[
x = \frac{-11 \pm \sqrt{961}}{2 \cdot 2} = \frac{-11 \pm 31}{4}
\][/tex]
4. Encontrar as duas soluções:
[tex]\[
x_1 = \frac{-11 + 31}{4} = \frac{20}{4} = 5
\][/tex]
[tex]\[
x_2 = \frac{-11 - 31}{4} = \frac{-42}{4} = -\frac{21}{2}
\][/tex]
Portanto, as soluções para a equação [tex]\( 2x^2 + 11x - 105 = 0 \)[/tex] são [tex]\( x = 5 \)[/tex] e [tex]\( x = -\frac{21}{2} \)[/tex].
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Resumindo:
- Para [tex]\( x^2 - x - 6 = 0 \)[/tex], as soluções são [tex]\( x = 3 \)[/tex] e [tex]\( x = -2 \)[/tex].
- Para [tex]\( 2x^2 + 11x - 105 = 0 \)[/tex], as soluções são [tex]\( x = 5 \)[/tex] e [tex]\( x = -\frac{21}{2} \)[/tex].
