Para determinar la razón de cambio del área de la circunferencia cuando el diámetro es de 15 cm, sigamos estos pasos:
1. Convertir el diámetro a milímetros (mm):
Primero, sabemos que 1 cm = 10 mm, por lo tanto:
[tex]\[
15 \, \text{cm} \times 10 = 150 \, \text{mm}
\][/tex]
Así, el diámetro de la circunferencia es de 150 mm.
2. Calcular el radio en milímetros:
El radio (r) es la mitad del diámetro, por lo tanto:
[tex]\[
r = \frac{150 \, \text{mm}}{2} = 75 \, \text{mm}
\][/tex]
3. Entender la tasa de incremento del radio:
Nos dicen que el radio de la circunferencia aumenta a razón de 35 mm/s. Esto es la tasa de cambio del radio, denotada como [tex]\( \frac{dr}{dt} \)[/tex].
4. Utilizar la fórmula del área de un círculo:
El área (A) de un círculo es:
[tex]\[
A = \pi r^2
\][/tex]
Queremos encontrar la razón de cambio del área con respecto al tiempo, denotada como [tex]\( \frac{dA}{dt} \)[/tex].
5. Diferenciar el área con respecto al tiempo:
Usamos la regla de la cadena para derivar el área con respecto al tiempo:
[tex]\[
\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt} (\pi r^2) = \pi \cdot 2r \cdot \frac{dr}{dt}
\][/tex]
Simplificando:
[tex]\[
\frac{dA}{dt} = 2\pi r \cdot \frac{dr}{dt}
\][/tex]
6. Sustitir los valores conocidos:
Sabemos que:
[tex]\[
r = 75 \, \text{mm}
\][/tex]
[tex]\[
\frac{dr}{dt} = 35 \, \text{mm/s}
\][/tex]
Sustituyendo estos valores en nuestra fórmula derivada:
[tex]\[
\frac{dA}{dt} = 2 \pi \cdot 75 \, \text{mm} \cdot 35 \, \text{mm/s}
\][/tex]
Calculando:
[tex]\[
\frac{dA}{dt} = 2 \pi \cdot 75 \cdot 35 \approx 2 \cdot 3.1416 \cdot 75 \cdot 35
\][/tex]
Multiplicando los números:
[tex]\[
2 \cdot 75 = 150 \implies 150 \cdot 35 = 5250 \implies 5250 \cdot 3.1416 \approx 16493.361431346413
\][/tex]
Por lo tanto, la razón de cambio del área de la circunferencia cuando el diámetro es de 15 cm es aproximadamente [tex]\( 16493.36 \, \text{mm}^2/\text{s} \)[/tex].
