Para resolver la integral definida [tex]\(\int_{-1}^2 (2x - 5)^2 \, dx\)[/tex], vamos a seguir los siguientes pasos:
1. Expande el integrando: Primero, expandimos el integrando [tex]\((2x - 5)^2\)[/tex].
[tex]\[
(2x - 5)^2 = (2x - 5)(2x - 5) = 4x^2 - 20x + 25
\][/tex]
Entonces, la integral se convierte en:
[tex]\[
\int_{-1}^2 (4x^2 - 20x + 25) \, dx
\][/tex]
2. Integra cada término por separado: Ahora integraremos cada uno de los términos de la expresión expandida.
[tex]\[
\int_{-1}^2 4x^2 \, dx - \int_{-1}^2 20x \, dx + \int_{-1}^2 25 \, dx
\][/tex]
Sabemos que:
[tex]\[
\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
\][/tex]
Y:
[tex]\[
\int a \, dx = ax + C
\][/tex]
Usando estas reglas, integramos cada término:
[tex]\[
\int 4x^2 \, dx = 4 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{4x^3}{3}
\][/tex]
[tex]\[
\int 20x \, dx = 20 \cdot \frac{x^2}{2} = 10x^2
\][/tex]
[tex]\[
\int 25 \, dx = 25x
\][/tex]
3. Evalúa cada integral en los límites dados: Evaluamos cada término desde [tex]\(-1\)[/tex] hasta [tex]\(2\)[/tex].
[tex]\[
\left[\frac{4x^3}{3}\right]_{-1}^2 = \left(\frac{4(2^3)}{3}\right) - \left(\frac{4((-1)^3)}{3}\right) = \left(\frac{4 \cdot 8}{3}\right) - \left(\frac{-4}{3}\right)
\][/tex]
[tex]\[
= \frac{32}{3} + \frac{4}{3} = \frac{36}{3} = 12
\][/tex]
[tex]\[
[10x^2]_{-1}^2 = 10(2^2) - 10((-1)^2) = 10 \cdot 4 - 10 \cdot 1 = 40 - 10 = 30
\][/tex]
[tex]\[
[25x]_{-1}^2 = 25(2) - 25(-1) = 50 + 25 = 75
\][/tex]
4. Suma los resultados: Sumamos los resultados de cada una de las evaluaciones.
[tex]\[
12 - 30 + 75 = 57
\][/tex]
Por lo tanto, la respuesta correcta es:
A) 57
