Para resolver la ecuación de segundo grado que se nos presenta, primero necesitamos manipular la expresión original para ponerla en el formato estándar de una ecuación cuadrática, es decir, [tex]\(ax^2 + bx + c = 0\)[/tex].
La ecuación original es:
[tex]\[ x(2x + 8) = x^2 + 2x + 6 \][/tex]
Procedamos a expandir y simplificar esta expresión paso a paso.
1. Expandir el lado izquierdo de la ecuación:
[tex]\[ x(2x + 8) = 2x^2 + 8x \][/tex]
2. Ahora, la ecuación se ve así:
[tex]\[ 2x^2 + 8x = x^2 + 2x + 6 \][/tex]
3. Pasar todos los términos al lado izquierdo para obtener [tex]\(0\)[/tex] en el lado derecho:
[tex]\[ 2x^2 + 8x - x^2 - 2x - 6 = 0 \][/tex]
4. Simplificar los términos semejantes:
[tex]\[ x^2 + 6x - 6 = 0 \][/tex]
Ya tenemos la ecuación en el formato estándar [tex]\(ax^2 + bx + c = 0\)[/tex], donde:
[tex]\[ a = 1, \, b = 6, \, c = -6 \][/tex]
Ahora usaremos la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
5. Calcular el discriminante:
[tex]\[ \Delta = b^2 - 4ac \][/tex]
[tex]\[ \Delta = 6^2 - 4(1)(-6) \][/tex]
[tex]\[ \Delta = 36 + 24 \][/tex]
[tex]\[ \Delta = 60 \][/tex]
6. Sustituir los valores de [tex]\(a\)[/tex], [tex]\(b\)[/tex] y el discriminante en la fórmula general:
[tex]\[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{60}}{2(1)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{60}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-6 \pm 7.75}{2} \][/tex] [tex]\((\sqrt{60} \approx 7.75\)[/tex])
7. Calcular las dos posibles soluciones (las raíces de la ecuación cuadrática):
[tex]\[ x_1 = \frac{-6 + 7.75}{2} \][/tex]
[tex]\[ x_1 = \frac{1.75}{2} \][/tex]
[tex]\[ x_1 = 0.87 \][/tex] [tex]\((redondeado a dos decimales)\)[/tex]
[tex]\[ x_2 = \frac{-6 - 7.75}{2} \][/tex]
[tex]\[ x_2 = \frac{-13.75}{2} \][/tex]
[tex]\[ x_2 = -6.87 \][/tex] [tex]\((redondeado a dos decimales)\)[/tex]
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación [tex]\( x(2x + 8) = x^2 + 2x + 6 \)[/tex] con dos decimales de precisión son:
[tex]\[ x_1 \approx 0.87 \][/tex]
[tex]\[ x_2 \approx -6.87 \][/tex]
