Para encontrar el dominio de las funciones dadas, consideraremos las condiciones que deben cumplirse para que las funciones estén definidas.
### Parte a) [tex]\( f(x) = x^2 - 3x - 21 \)[/tex]
El dominio de una función polinómica en una variable real es el conjunto de todos los números reales, ya que cualquier número real puede ser sustituido en la variable [tex]\( x \)[/tex] sin restricciones ni indeterminaciones.
Por lo tanto, el dominio de [tex]\( f(x) = x^2 - 3x - 21 \)[/tex] es:
[tex]\[ \text{DOMINIO} = \mathbb{R} \][/tex]
En otras palabras, el dominio incluye todos los números reales.
### Parte b) [tex]\( g(x) = \frac{2x}{x - 4} \)[/tex]
Para encontrar el dominio de esta función racional, debemos buscar los valores de [tex]\( x \)[/tex] que hacen que el denominador sea cero, ya que una división por cero no está definida.
El denominador es [tex]\( x - 4 \)[/tex].
- Si [tex]\( x - 4 = 0 \)[/tex], obtenemos [tex]\( x = 4 \)[/tex].
Entonces, [tex]\( x = 4 \)[/tex] es el único valor que no está permitido en el dominio de [tex]\( g(x) \)[/tex]. Así que el dominio de [tex]\( g(x) \)[/tex] es el conjunto de todos los números reales excepto [tex]\( 4 \)[/tex].
Podemos expresar esto en términos de intervalos:
[tex]\[ \text{DOMINIO} = \mathbb{R} \setminus \{4\} \][/tex]
Esto significa que el dominio son todos los números reales, excepto [tex]\( x = 4 \)[/tex].
De esta manera, hemos encontrado que:
1. El dominio de [tex]\( f(x) = x^2 - 3x - 21 \)[/tex] es:
[tex]\[ \text{DOMINIO} = \mathbb{R} \][/tex]
2. El dominio de [tex]\( g(x) = \frac{2x}{x - 4} \)[/tex] es:
[tex]\[ \text{DOMINIO} = \mathbb{R} \setminus \{4\} \][/tex]
Lo que podemos escribir también como una unión de intervalos:
[tex]\[ \text{DOMINIO} = (-\infty, 4) \cup (4, \infty) \][/tex]
