Para resolver a questão de encontrar o MMC (Mínimo Múltiplo Comum) e o MDC (Máximo Divisor Comum) entre os números [tex]\(2^2 \times 3 \times 5^2\)[/tex] e [tex]\(2 \times 5^2\)[/tex], seguiremos os seguintes passos:
### 1. Fatoração e Identificação dos Fatores Primos
Primeiro, identificamos e listamos os fatores primos de cada número:
- Para [tex]\(2^2 \times 3 \times 5^2\)[/tex]:
- Fatores: [tex]\(2^2\)[/tex], [tex]\(3^1\)[/tex], [tex]\(5^2\)[/tex]
- Para [tex]\(2 \times 5^2\)[/tex]:
- Fatores: [tex]\(2^1\)[/tex], [tex]\(5^2\)[/tex]
### 2. MMC - Mínimo Múltiplo Comum
O MMC é calculado tomando o maior expoente de cada fator primo presente em ambos os números.
- Fatores comuns e não comuns:
- [tex]\(2\)[/tex]: o maior expoente é 2 (presente em [tex]\(2^2 \times 3 \times 5^2\)[/tex])
- [tex]\(3\)[/tex]: o maior expoente é 1 (presente em [tex]\(2^2 \times 3 \times 5^2\)[/tex])
- [tex]\(5\)[/tex]: o maior expoente é 2 (presente em ambos, [tex]\(2^2 \times 3 \times 5^2\)[/tex] e [tex]\(2 \times 5^2\)[/tex])
O MMC é dado por:
[tex]\[ MMC = 2^2 \times 3^1 \times 5^2 = 4 \times 3 \times 25 = 300 \][/tex]
### 3. MDC - Máximo Divisor Comum
O MDC é calculado tomando o menor expoente de cada fator primo presente em ambos os números.
- Fatores comuns:
- [tex]\(2\)[/tex]: o menor expoente é 1 (presente em [tex]\(2 \times 5^2\)[/tex])
- [tex]\(5\)[/tex]: o menor expoente é 2 (presente em ambos, [tex]\(2^2 \times 3 \times 5^2\)[/tex] e [tex]\(2 \times 5^2\)[/tex])
O MDC é dado por:
[tex]\[ MDC = 2^1 \times 5^2 = 2 \times 25 = 50 \][/tex]
### Conclusão
O MMC entre [tex]\(2^2 \times 3 \times 5^2\)[/tex] e [tex]\(2 \times 5^2\)[/tex] é [tex]\(300\)[/tex] e o MDC entre esses mesmos números é [tex]\(50\)[/tex].
Portanto, a alternativa correta é:
(D) [tex]\(2^2 \times 3 \times 5^2\)[/tex] e [tex]\(2 \times 5^2\)[/tex]
