Para determinar el límite del saldo de una cuenta bancaria con interés compuesto continuo a medida que el tiempo [tex]$t$[/tex] tiende al infinito, utilizaremos la fórmula del interés compuesto continuo:
[tex]\[ S(t) = P e^{r t} \][/tex]
donde:
- [tex]\( P \)[/tex] es el monto principal (el dinero inicial depositado).
- [tex]\( r \)[/tex] es la tasa de interés anual.
- [tex]\( t \)[/tex] es el tiempo en años.
Ahora, queremos encontrar el límite de [tex]\( S(t) \)[/tex] cuando [tex]\( t \)[/tex] tiende al infinito. Es decir, buscamos:
[tex]\[ \lim_{t \to \infty} S(t) = \lim_{t \to \infty} P e^{r t} \][/tex]
Analizaremos dos casos diferentes dependiendo del valor de la tasa de interés [tex]\( r \)[/tex]:
1. Si [tex]\( r > 0 \)[/tex]:
En este caso, [tex]\( r \)[/tex] es positivo. Sabemos que cuando exponenciamos un número positivo, la función exponencial [tex]\( e^{r t} \)[/tex] crece exponencialmente a medida que [tex]\( t \)[/tex] tiende al infinito. Es decir:
[tex]\[ \lim_{t \to \infty} e^{r t} = \infty \][/tex]
Entonces, multiplicando esto por el monto principal [tex]\( P \)[/tex]:
[tex]\[ \lim_{t \to \infty} P e^{r t} = P \cdot \infty = \infty \][/tex]
Por lo tanto, si [tex]\( r > 0 \)[/tex]:
[tex]\[ \lim_{t \to \infty} S(t) = \infty \][/tex]
2. Si [tex]\( r \leq 0 \)[/tex]:
- Si [tex]\( r = 0 \)[/tex]:
En este caso, la fórmula se simplifica a:
[tex]\[ S(t) = P e^{0 \cdot t} = P e^{0} = P \][/tex]
Por lo tanto, el límite del saldo a medida que [tex]\( t \)[/tex] tiende al infinito es simplemente el monto principal:
[tex]\[ \lim_{t \to \infty} S(t) = P \][/tex]
- Si [tex]\( r < 0 \)[/tex]:
Aquí, la tasa de interés es negativa, lo que significa que [tex]\( e^{r t} \)[/tex] se acercará a cero a medida que [tex]\( t \)[/tex] tiende al infinito, ya que estamos exponenciando por un número negativo:
[tex]\[ \lim_{t \to \infty} e^{r t} = 0 \][/tex]
Entonces, multiplicando esto por el monto principal [tex]\( P \)[/tex]:
[tex]\[ \lim_{t \to \infty} P e^{r t} = P \cdot 0 = 0 \][/tex]
Por lo tanto, resumiendo:
- Si [tex]\( r > 0 \)[/tex], el límite del saldo [tex]\( S(t) \)[/tex] cuando [tex]\( t \)[/tex] tiende al infinito es [tex]\( \infty \)[/tex].
- Si [tex]\( r \leq 0 \)[/tex], el límite del saldo [tex]\( S(t) \)[/tex] cuando [tex]\( t \)[/tex] tiende al infinito es el valor del principal [tex]\( P \)[/tex] si [tex]\( r = 0 \)[/tex] o 0 si [tex]\( r < 0 \)[/tex].
En conclusión, dado que en nuestro caso la tasa de interés anual [tex]\( r \)[/tex] es positiva (asumimos [tex]\( r > 0 \)[/tex]), el límite del saldo de la cuenta bancaria [tex]\( S(t) \)[/tex] cuando el tiempo [tex]\( t \)[/tex] tiende al infinito es:
[tex]\[ \lim_{t \to \infty} S(t) = \infty \][/tex]
