Para resolver la expresión indicada, seguiremos estos pasos:
1. Dividir [tex]\(\frac{a+1}{a-1}\)[/tex] entre [tex]\(\frac{a^2 + a}{a^2 - 2a + 1}\)[/tex]
2. Simplificar la división anterior.
3. Multiplicar el resultado anterior por [tex]\(\frac{a}{a-1}\)[/tex]
4. Simplificar la fracción resultante.
### Paso 1: Dividir:
[tex]\[
\frac{\frac{a+1}{a-1}}{\frac{a^2+a}{a^2-2a+1}}
\][/tex]
Cuando dividimos por una fracción, multiplicamos por el recíproco de esa fracción. Así que esto se convierte en:
[tex]\[
\frac{a+1}{a-1} \cdot \frac{a^2-2a+1}{a^2+a}
\][/tex]
### Paso 2: Simplificar:
Primero, observemos que el denominador [tex]\(a^2 - 2a + 1\)[/tex] se puede factorizar:
[tex]\[
a^2-2a+1 = (a-1)^2
\][/tex]
Entonces, nuestra expresión ahora luce así:
[tex]\[
\frac{a+1}{a-1} \cdot \frac{(a-1)^2}{a^2+a}
\][/tex]
Ahora también podemos factorizar el numerador [tex]\(a^2 + a\)[/tex]:
[tex]\[
a^2 + a = a(a+1)
\][/tex]
La expresión entonces es:
[tex]\[
\frac{a+1}{a-1} \cdot \frac{(a-1)^2}{a(a+1)}
\][/tex]
Cancelamos los términos comunes:
[tex]\[
\frac{\cancel{a+1}}{a-1} \cdot \frac{(a-1)^2}{a\cancel{(a+1)}}
= \frac{(a-1)}{a}
\][/tex]
### Paso 3: Multiplicar por [tex]\(\frac{a}{a-1}\)[/tex]:
[tex]\[
\frac{(a-1)}{a} \cdot \frac{a}{a-1}
\][/tex]
### Paso 4: Simplificar:
Tenemos:
[tex]\[
\frac{(a-1)}{a} \cdot \frac{a}{a-1} = \frac{(a-1) \cdot a}{a \cdot (a-1)}
\][/tex]
Cancelamos los términos comunes nuevamente:
[tex]\[
\frac{\cancel{(a-1)} \cdot \cancel{a}}{\cancel{a} \cdot \cancel{(a-1)}} = 1
\][/tex]
Así que la expresión total simplificada es igual a:
[tex]\[
\boxed{1}
\][/tex]
