Para racionalizar cada una de las expresiones dadas, vamos a hacer una serie de pasos para eliminar cualquier raíz del denominador. Aquí están las soluciones detalladas:
### a. [tex]\(\frac{1}{\sqrt[3]{x+1}-1}\)[/tex]
Esta expresión no se puede simplificar más allá. La forma racionalizada es la misma que la original:
[tex]\[ \frac{1}{\sqrt[3]{x+1}-1} \][/tex]
### b. [tex]\(\frac{\sqrt{x-y}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}\)[/tex]
Esta fracción no se simplifica más allá. La forma racionalizada es la misma que la original:
[tex]\[ \frac{\sqrt{x-y}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}} \][/tex]
### c. [tex]\(\frac{10}{\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{2}}\)[/tex]
Para racionalizar esta expresión, necesitamos eliminar las raíces cúbicas del denominador. La forma racionalizada es la misma que la original, pero multiplicando y dividiendo por el conjugado cúbico:
[tex]\[ \frac{10}{\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{2}} \][/tex]
### d. [tex]\(\frac{x^3-y}{x+\sqrt[3]{y}}\)[/tex]
Esta expresión no puede racionalizarse más allá y queda en su forma original:
[tex]\[ \frac{x^3-y}{x+\sqrt[3]{y}} \][/tex]
En resumen:
1. La expresión [tex]\(\frac{1}{\sqrt[3]{x+1}-1}\)[/tex] se mantiene como está.
2. La expresión [tex]\(\frac{10}{\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{2}}\)[/tex] se mantiene como está.
3. La expresión [tex]\(\frac{\sqrt{x-y}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}\)[/tex] se mantiene como está.
4. La expresión [tex]\(\frac{x^3-y}{x+\sqrt[3]{y}}\)[/tex] se mantiene como está.
