Vamos a resolver la expresión [tex]\( x \div (x \div y \div z) \)[/tex] paso a paso, donde [tex]\( x = \sqrt{2} \)[/tex], [tex]\( y = \sqrt{5} \)[/tex] y [tex]\( z = \sqrt{8} \)[/tex].
Primero, vamos a reescribir la expresión para mayor claridad:
[tex]\[ x \div (x \div y \div z) \][/tex]
Podemos interpretar esto como:
[tex]\[ x \div \left( x \div \left( y \div z \right) \right) \][/tex]
Para avanzar, primero calculamos [tex]\( y \div z \)[/tex]:
[tex]\[ y \div z = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{8}} \][/tex]
Sabemos que [tex]\( \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2 \sqrt{2} \)[/tex], entonces:
[tex]\[ y \div z = \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} \][/tex]
Multiplicamos numerador y denominador por [tex]\( \sqrt{2} \)[/tex] para simplificar:
[tex]\[ \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{4} \][/tex]
Ahora, calculamos [tex]\( x \div \left( \frac{\sqrt{10}}{4} \right) \)[/tex]:
[tex]\[ x \div \left( \frac{\sqrt{10}}{4} \right) = \sqrt{2} \div \left( \frac{\sqrt{10}}{4} \right) = \sqrt{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{10}} = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{10}} \][/tex]
Multiplicamos numerador y denominador por [tex]\( \sqrt{10} \)[/tex] para simplificar:
[tex]\[ \frac{4 \sqrt{2} \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{4 \sqrt{20}}{10} \][/tex]
Sabemos que [tex]\( \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} \)[/tex], por lo tanto:
[tex]\[ \frac{4 \cdot 2 \sqrt{5}}{10} = \frac{8 \sqrt{5}}{10} = \frac{4 \sqrt{5}}{5} \][/tex]
Finalmente, calculamos [tex]\( x \div \left( x \div \left( y \div z \right) \right) \)[/tex]:
[tex]\[ \sqrt{2} \div \left( x \div \left( y \div z \right) \right) = \sqrt{2} \times \left( \frac{5}{4 \sqrt{5}} \right) = \frac{\sqrt{2} \cdot 5}{4 \sqrt{5}} \][/tex]
Multiplicamos numerador y denominador por [tex]\( \sqrt{5} \)[/tex] para simplificar:
[tex]\[ \frac{5 \sqrt{10}}{4 \cdot 5} = \frac{\sqrt{10}}{4 / 1} \][/tex]
Por lo tanto, la expresión original se reduce a [tex]\( 2 \sqrt{10} \)[/tex].
La respuesta correcta es:
A) [tex]\( 2 \sqrt{10} \)[/tex]
