Para derivar la función logarítmica [tex]\( Y = \ln(x^3 + x) \)[/tex], debemos aplicar las reglas de derivación para logaritmos y funciones compuestas.
### Paso 1: Identificar la función interna y la función logarítmica
En nuestro caso, [tex]\( Y \)[/tex] es una función compuesta donde podemos identificar:
- Función interna: [tex]\( u(x) = x^3 + x \)[/tex]
- Función externa: [tex]\( \ln(u) \)[/tex]
### Paso 2: Derivar la función externa
La derivada de la función logarítmica [tex]\( \ln(u) \)[/tex] con respecto a [tex]\( u \)[/tex] es:
[tex]\[ \frac{d}{du} \ln(u) = \frac{1}{u} \][/tex]
### Paso 3: Derivar la función interna
Derivamos [tex]\( u(x) = x^3 + x \)[/tex] con respecto a [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ u'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + x) = 3x^2 + 1 \][/tex]
### Paso 4: Aplicar la regla de la cadena
Según la regla de la cadena, la derivada de la función compuesta [tex]\( Y = \ln(u(x)) \)[/tex] con respecto a [tex]\( x \)[/tex] es:
[tex]\[ \frac{dY}{dx} = \frac{dY}{du} \cdot \frac{du}{dx} \][/tex]
### Paso 5: Sustituir las derivadas encontradas
Sustituimos [tex]\( \frac{dY}{du} = \frac{1}{u} \)[/tex] y [tex]\( \frac{du}{dx} = 3x^2 + 1 \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{dY}{dx} = \frac{1}{x^3 + x} \cdot (3x^2 + 1) \][/tex]
### Paso 6: Simplificar la expresión
La derivada de [tex]\( Y = \ln(x^3 + x) \)[/tex] es:
[tex]\[ \frac{dY}{dx} = \frac{3x^2 + 1}{x^3 + x} \][/tex]
Por lo tanto, la derivada de la función [tex]\( Y = \ln(x^3 + x) \)[/tex] es:
[tex]\[ \frac{3x^2 + 1}{x^3 + x} \][/tex]
Y esa es la respuesta final para la derivada de la función dada.
