Para encontrar el recorrido de la función cuadrática [tex]\(y = -x^2 + 2x + 3\)[/tex], sigamos los siguientes pasos detallados:
### Paso 1: Identificar la forma de la parábola
La función dada es de la forma [tex]\(y = ax^2 + bx + c\)[/tex]. En este caso, tenemos:
- [tex]\(a = -1\)[/tex]
- [tex]\(b = 2\)[/tex]
- [tex]\(c = 3\)[/tex]
### Paso 2: Determinar el tipo de apertura de la parábola
Dado que el coeficiente [tex]\(a\)[/tex] es negativo ([tex]\(a = -1\)[/tex]), la parábola se abre hacia abajo. Esto significa que la función tendrá un valor máximo en su vértice.
### Paso 3: Calcular la coordenada x del vértice
La coordenada x del vértice de una parábola de la forma [tex]\(y = ax^2 + bx + c\)[/tex] se calcula utilizando la fórmula:
[tex]\[ x = -\frac{b}{2a} \][/tex]
Sustituyendo los valores de [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(b\)[/tex]:
[tex]\[ x = -\frac{2}{2(-1)} = -\frac{2}{-2} = 1.0 \][/tex]
### Paso 4: Calcular la coordenada y del vértice
Para encontrar la coordenada y del vértice, sustituimos [tex]\(x = 1.0\)[/tex] en la ecuación de la función cuadrática:
[tex]\[ y = -(1.0)^2 + 2(1.0) + 3 \][/tex]
Resolviendo la expresión:
[tex]\[ y = -1 + 2 + 3 = 4.0 \][/tex]
### Paso 5: Determinar el recorrido de la función
Ya que la parábola se abre hacia abajo y su valor máximo es en el vértice (1.0, 4.0), el recorrido de la función será desde [tex]\(-\infty\)[/tex] hasta 4.0 (inclusive).
### Resultado final:
El recorrido de la función [tex]\(y = -x^2 + 2x + 3\)[/tex] es:
[tex]\[ (-\infty, 4.0] \][/tex]
