Answer :
Vamos analisar cada uma das afirmações listadas e determinar se são verdadeiras ou falsas:
1. Declarações individuais:
a) 0 é um número natural.
- Verdadeiro. O conjunto dos números naturais inclui o zero, então 0 é um número natural.
b) 6 é um número inteiro.
- Verdadeiro. Os números inteiros incluem todos os números sem fração, positivos, negativos e zero, então 6 pertence aos números inteiros.
c) [tex]\(\sqrt[3]{-2}\)[/tex] é um número real.
- Verdadeiro. A raiz cúbica de -2 ([tex]\(\sqrt[3]{-2}\)[/tex]) é um número real porque as raízes cúbicas de números negativos são números reais.
d) -5 é um número racional.
- Verdadeiro. -5 é um número racional porque pode ser expresso como uma fração (-5/1).
e) [tex]\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)[/tex] é um número racional.
- Falso. [tex]\(\sqrt{2}\)[/tex] é um número irracional, e a divisão de um número irracional por um número não zero continua sendo irracional, portanto, [tex]\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)[/tex] é um número irracional.
f) -1 é um número real.
- Verdadeiro. -1 é um número real.
g) [tex]\((-3)^2\)[/tex] é um número natural.
- Verdadeiro. [tex]\((-3)^2\)[/tex] é igual a 9, que é um número natural.
h) 1,3 é um número irracional.
- Falso. 1,3 pode ser expresso como a fração 13/10, então 1,3 é um número racional.
i) Com os elementos de [tex]\(\mathbb{Q}\)[/tex] podemos medir qualquer comprimento.
- Falso. Nem todos os comprimentos podem ser medidos usando apenas números racionais ([tex]\(\mathbb{Q}\)[/tex]), por exemplo, comprimentos que envolvem [tex]\(\sqrt{2}\)[/tex] são irracionais.
j) Todo número inteiro é positivo ou negativo.
- Falso. Os números inteiros também incluem o zero, que não é nem positivo nem negativo.
k) Se [tex]\(a\)[/tex] é um número inteiro, então [tex]\(\sqrt{a}\)[/tex] é um número real.
- Verdadeiro. A raiz quadrada de qualquer número inteiro (positivo ou zero) é um número real.
2. Alternativas de operações:
a) Se [tex]\(a\)[/tex] e [tex]\(b\)[/tex] são números naturais, então [tex]\(a - b\)[/tex] é um número natural.
- Falso. A subtração de dois números naturais não necessariamente resulta em um número natural, pois pode resultar em um número negativo ou zero, que não é considerado natural em algumas definições.
b) Se [tex]\(a\)[/tex] é um número natural e [tex]\(b\)[/tex] é um número inteiro, então [tex]\(a \cdot b\)[/tex] é um número inteiro.
- Verdadeiro. A multiplicação de um número natural por um número inteiro sempre resulta em um número inteiro.
c) Se [tex]\(a\)[/tex] e [tex]\(b\)[/tex] são números inteiros ([tex]\(b \neq 0\)[/tex]), então [tex]\(\frac{a}{b}\)[/tex] é um número racional.
- Verdadeiro. A divisão de dois números inteiros resulta em um número racional, desde que o denominador não seja zero.
d) Se [tex]\(a\)[/tex] é um número inteiro, então [tex]\(a^2\)[/tex] é um número natural.
- Falso. [tex]\(a^2\)[/tex] só é natural se [tex]\(a\)[/tex] for um número natural ou zero. Se [tex]\(a\)[/tex] for um número inteiro negativo, [tex]\(a^2\)[/tex] é positivo, mas ainda é natural.
e) Se [tex]\(a\)[/tex] é um número inteiro, então [tex]\(\sqrt{a}\)[/tex] é um número real.
- Verdadeiro. A raiz quadrada de um número inteiro é um número real, se [tex]\(a\)[/tex] for positivo ou zero.
Portanto, as respostas são:
1. Declarações individuais:
a) Verdadeiro
b) Verdadeiro
c) Verdadeiro
d) Verdadeiro
e) Falso
f) Verdadeiro
g) Verdadeiro
h) Falso
i) Falso
j) Falso
k) Verdadeiro
2. Alternativas de operações:
a) Falso
b) Verdadeiro
c) Verdadeiro
d) Falso
e) Verdadeiro
1. Declarações individuais:
a) 0 é um número natural.
- Verdadeiro. O conjunto dos números naturais inclui o zero, então 0 é um número natural.
b) 6 é um número inteiro.
- Verdadeiro. Os números inteiros incluem todos os números sem fração, positivos, negativos e zero, então 6 pertence aos números inteiros.
c) [tex]\(\sqrt[3]{-2}\)[/tex] é um número real.
- Verdadeiro. A raiz cúbica de -2 ([tex]\(\sqrt[3]{-2}\)[/tex]) é um número real porque as raízes cúbicas de números negativos são números reais.
d) -5 é um número racional.
- Verdadeiro. -5 é um número racional porque pode ser expresso como uma fração (-5/1).
e) [tex]\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)[/tex] é um número racional.
- Falso. [tex]\(\sqrt{2}\)[/tex] é um número irracional, e a divisão de um número irracional por um número não zero continua sendo irracional, portanto, [tex]\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)[/tex] é um número irracional.
f) -1 é um número real.
- Verdadeiro. -1 é um número real.
g) [tex]\((-3)^2\)[/tex] é um número natural.
- Verdadeiro. [tex]\((-3)^2\)[/tex] é igual a 9, que é um número natural.
h) 1,3 é um número irracional.
- Falso. 1,3 pode ser expresso como a fração 13/10, então 1,3 é um número racional.
i) Com os elementos de [tex]\(\mathbb{Q}\)[/tex] podemos medir qualquer comprimento.
- Falso. Nem todos os comprimentos podem ser medidos usando apenas números racionais ([tex]\(\mathbb{Q}\)[/tex]), por exemplo, comprimentos que envolvem [tex]\(\sqrt{2}\)[/tex] são irracionais.
j) Todo número inteiro é positivo ou negativo.
- Falso. Os números inteiros também incluem o zero, que não é nem positivo nem negativo.
k) Se [tex]\(a\)[/tex] é um número inteiro, então [tex]\(\sqrt{a}\)[/tex] é um número real.
- Verdadeiro. A raiz quadrada de qualquer número inteiro (positivo ou zero) é um número real.
2. Alternativas de operações:
a) Se [tex]\(a\)[/tex] e [tex]\(b\)[/tex] são números naturais, então [tex]\(a - b\)[/tex] é um número natural.
- Falso. A subtração de dois números naturais não necessariamente resulta em um número natural, pois pode resultar em um número negativo ou zero, que não é considerado natural em algumas definições.
b) Se [tex]\(a\)[/tex] é um número natural e [tex]\(b\)[/tex] é um número inteiro, então [tex]\(a \cdot b\)[/tex] é um número inteiro.
- Verdadeiro. A multiplicação de um número natural por um número inteiro sempre resulta em um número inteiro.
c) Se [tex]\(a\)[/tex] e [tex]\(b\)[/tex] são números inteiros ([tex]\(b \neq 0\)[/tex]), então [tex]\(\frac{a}{b}\)[/tex] é um número racional.
- Verdadeiro. A divisão de dois números inteiros resulta em um número racional, desde que o denominador não seja zero.
d) Se [tex]\(a\)[/tex] é um número inteiro, então [tex]\(a^2\)[/tex] é um número natural.
- Falso. [tex]\(a^2\)[/tex] só é natural se [tex]\(a\)[/tex] for um número natural ou zero. Se [tex]\(a\)[/tex] for um número inteiro negativo, [tex]\(a^2\)[/tex] é positivo, mas ainda é natural.
e) Se [tex]\(a\)[/tex] é um número inteiro, então [tex]\(\sqrt{a}\)[/tex] é um número real.
- Verdadeiro. A raiz quadrada de um número inteiro é um número real, se [tex]\(a\)[/tex] for positivo ou zero.
Portanto, as respostas são:
1. Declarações individuais:
a) Verdadeiro
b) Verdadeiro
c) Verdadeiro
d) Verdadeiro
e) Falso
f) Verdadeiro
g) Verdadeiro
h) Falso
i) Falso
j) Falso
k) Verdadeiro
2. Alternativas de operações:
a) Falso
b) Verdadeiro
c) Verdadeiro
d) Falso
e) Verdadeiro
