Claro, vamos a factorizar el polinomio [tex]\( x^2 - 3xy - 18y^2 \)[/tex].
1. Identificación de Términos:
- Primer término: [tex]\( x^2 \)[/tex]
- Segundo término: [tex]\( -3xy \)[/tex]
- Tercer término: [tex]\( -18y^2 \)[/tex]
2. Búsqueda de Factores:
- Queremos encontrar dos binomios que al multiplicarse nos den el trinomio original.
- Necesitamos que al expandir (distributiva), las variables y los coeficientes resulten en los términos originales.
3. Escribir el Polinomio como Producto de Binomios:
- Consideramos que la factorización tiene la forma [tex]\( (x + a y)(x + b y) \)[/tex], donde [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(b\)[/tex] son números que debemos determinar.
- Al expandir estos binomios: [tex]\[
(x + a y)(x + b y) = x^2 + (a + b)xy + aby^2.
\][/tex]
- Igualamos términos con el original para extraer las relaciones:
[tex]\[
a + b = -3 \quad \text{y} \quad ab = -18.
\][/tex]
4. Resolución del Sistema de Ecuaciones:
- Debemos encontrar [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(b\)[/tex] que satisfacen ambas ecuaciones.
- Sabemos que no hay que resolver explícitamente aquí, pero vamos a los resultados específicos:
- Los factores son tales que:
[tex]\[
(x - 6y)(x + 3y)
\][/tex]
- Verificamos que los términos produzcan la expresión original al multiplicarse:
[tex]\[
(x - 6y)(x + 3y) = x^2 + 3xy - 6xy - 18y^2 = x^2 - 3xy - 18y^2.
\][/tex]
Por lo tanto, la factorización del polinomio [tex]\( x^2 - 3xy - 18y^2 \)[/tex] es:
[tex]\[
(x - 6y)(x + 3y)
\][/tex]
