Vamos a determinar el límite de la expresión vectorial dada cuando [tex]\( t \)[/tex] tiende a 39.
La expresión vectorial es:
[tex]\[
\frac{t^2-1521}{t-39} \mathbf{i} + \frac{t-11}{-24+t} \mathbf{j}
\][/tex]
Para hallar este límite, evaluaremos cada componente por separado.
### Componente [tex]\(\mathbf{i}\)[/tex]:
Queremos encontrar:
[tex]\[
\lim_ {t \to 39} \frac{t^2 - 1521}{t - 39}
\][/tex]
Observemos el numerador [tex]\( t^2 - 1521 \)[/tex]. Si evaluamos directamente en [tex]\( t = 39 \)[/tex], obtenemos:
[tex]\[ 39^2 - 1521 = 1521 - 1521 = 0 \][/tex]
Así que tenemos una indeterminación de tipo [tex]\( \frac{0}{0} \)[/tex]. Para resolver esta indeterminación, podemos factorizar el numerador [tex]\( t^2 - 1521 \)[/tex] usando la diferencia de cuadrados:
[tex]\[ t^2 - 1521 = (t + 39)(t - 39) \][/tex]
Luego, la expresión se simplifica a:
[tex]\[ \frac{t^2 - 1521}{t - 39} = \frac{(t + 39)(t - 39)}{t - 39} = t + 39 \][/tex]
Ahora evaluamos directamente en [tex]\( t = 39 \)[/tex]:
[tex]\[ 39 + 39 = 78 \][/tex]
Por lo tanto:
[tex]\[
\lim_ {t \to 39} \frac{t^2 - 1521}{t - 39} = 78
\][/tex]
### Componente [tex]\(\mathbf{j}\)[/tex]:
Ahora, queremos encontrar:
[tex]\[
\lim_ {t \to 39} \frac{t - 11}{-24 + t}
\][/tex]
No encontramos una indeterminación inmediata aquí, así que evaluamos directamente en [tex]\( t = 39 \)[/tex]:
[tex]\[
\frac{39 - 11}{-24 + 39} = \frac{28}{15}
\][/tex]
Por lo tanto:
[tex]\[
\lim_ {t \to 39} \frac{t - 11}{-24 + t} = \frac{28}{15}
\][/tex]
### Solución final
Entonces, el límite de la expresión vectorial completa cuando [tex]\( t \)[/tex] tiende a 39 es:
[tex]\[
\left(\lim_ {t \to 39} \frac{t^2 - 1521}{t - 39}\right) \mathbf{i} + \left(\lim_ {t \to 39} \frac{t - 11}{-24 + t}\right) \mathbf{j} = 78 \mathbf{i} + \frac{28}{15} \mathbf{j}
\][/tex]
Por lo tanto, el límite es:
[tex]\[
78 \mathbf{i} + \frac{28}{15} \mathbf{j}
\][/tex]
