Para resolver el problema, sigamos los siguientes pasos:
1. Determina el radio de la base de cada cúpula:
La cúpula tiene un diámetro de 18 metros, por lo tanto, el radio [tex]\( r \)[/tex] es la mitad del diámetro.
[tex]\[
r = \frac{diámetro}{2} = \frac{18 \, \text{m}}{2} = 9 \, \text{m}
\][/tex]
2. Calcula la altura inclinada (o generatriz) de la cúpula usando el teorema de Pitágoras:
La altura de la cúpula [tex]\( h \)[/tex] es de 12 metros, y el radio ya lo tenemos. La generatriz [tex]\( l \)[/tex] se calcula como:
[tex]\[
l = \sqrt{r^2 + h^2}
\][/tex]
Substituyendo los valores:
[tex]\[
l = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \, \text{m}
\][/tex]
3. Calcula el área de la superficie de una cúpula cónica:
El área de la superficie de un cono (sin incluir la base) es
[tex]\[
A_{superficie} = \pi r (r + l)
\][/tex]
Substituyendo los valores obtenidos:
[tex]\[
A_{superficie} = \pi \cdot 9 \cdot (9 + 15) = \pi \cdot 9 \cdot 24 = 216\pi \, \text{m}^2
\][/tex]
Aproximando el valor de [tex]\( \pi \)[/tex] (siendo [tex]\( \pi \approx 3.14159 \)[/tex]):
[tex]\[
A_{superficie} \approx 216 \cdot 3.14159 \approx 678.58 \, \text{m}^2
\][/tex]
4. Encuentra el área total de las cinco cúpulas:
Multiplicamos el área de una cúpula por cinco:
[tex]\[
A_{total} = 5 \cdot 678.58 \, \text{m}^2 \approx 3392.92 \, \text{m}^2
\][/tex]
Por lo tanto, Juan debe considerar una área total de 3392.92 metros cuadrados para calcular su presupuesto de pintura para las cinco cúpulas cónicas.
Cada cúpula tiene un área de superficie de aproximadamente 678.58 metros cuadrados.
