Para determinar el 10° término de la progresión geométrica dada, primero debemos entender cómo funciona una progresión geométrica. En este tipo de progresión, cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante llamada razón común.
Dada la secuencia: 5, 15, 45, 135, ...
1. Identificación del primer término y la razón común:
- El primer término ([tex]\(a\)[/tex]) es 5.
- Para encontrar la razón común ([tex]\(r\)[/tex]), dividimos el segundo término entre el primero:
[tex]\[
r = \frac{15}{5} = 3
\][/tex]
2. Fórmula del n-ésimo término:
En una progresión geométrica, el n-ésimo término ([tex]\(a_n\)[/tex]) se puede calcular usando la siguiente fórmula:
[tex]\[
a_n = a \cdot r^{(n-1)}
\][/tex]
Donde:
- [tex]\(a\)[/tex] es el primer término.
- [tex]\(r\)[/tex] es la razón común.
- [tex]\(n\)[/tex] es la posición del término que queremos encontrar.
3. Cálculo del 10° término:
Sustituimos los valores conocidos en la fórmula para encontrar el 10° término:
[tex]\[
a_{10} = 5 \cdot 3^{(10-1)} = 5 \cdot 3^{9}
\][/tex]
4. Encontramos el valor:
Simplificando,
[tex]\[
a_{10} = 5 \cdot 19683 = 98415
\][/tex]
Por lo tanto, el 10° término de la progresión geométrica es:
[tex]\[
\boxed{98415}
\][/tex]
