Vamos a resolver el problema paso a paso, asegurándonos de determinar los valores de [tex]\( m \)[/tex] y [tex]\( n \)[/tex] para poder calcular la calificación obtenida por Cristian en la PC02.
Para que el polinomio [tex]\( P(x, y) \)[/tex] sea homogéneo, el grado de cada término en relación con [tex]\( x \)[/tex] y [tex]\( y \)[/tex] debe ser el mismo. Analicemos cada término del polinomio:
[tex]\[ P(x, y) = x^{3m + 2n} y^4 + 3x^{2m - 1} y^{-3n} + 5x^{2m} y^{n + 7} \][/tex]
1. Grado del primer término:
[tex]\[ x^{3m + 2n} y^4 \][/tex]
El grado del término es la suma de los exponentes de [tex]\( x \)[/tex] y [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ (3m + 2n) + 4 \][/tex]
2. Grado del segundo término:
[tex]\[ x^{2m - 1} y^{-3n} \][/tex]
El grado del término es la suma de los exponentes de [tex]\( x \)[/tex] y [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ (2m - 1) + (-3n) \][/tex]
3. Grado del tercer término:
[tex]\[ x^{2m} y^{n + 7} \][/tex]
El grado del término es la suma de los exponentes de [tex]\( x \)[/tex] y [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ 2m + (n + 7) \][/tex]
Para que el polinomio sea homogéneo, los grados de estos términos deben ser iguales. Entonces tenemos las siguientes ecuaciones:
[tex]\[ (3m + 2n) + 4 = (2m - 3n - 1) \][/tex]
[tex]\[ (3m + 2n) + 4 = (2m + n + 7) \][/tex]
Resolvamos este sistema de ecuaciones para encontrar [tex]\( m \)[/tex] y [tex]\( n \)[/tex]:
De la primera ecuación:
[tex]\[ 3m + 2n + 4 = 2m - 3n - 1 \][/tex]
[tex]\[ 3m + 2n + 4 = 2m - 3n - 1 \][/tex]
[tex]\[ m + 5n = -5 \][/tex]
[tex]\[ m = -5 - 5n \][/tex]
De la segunda ecuación:
[tex]\[ 3m + 2n + 4 = 2m + n + 7 \][/tex]
[tex]\[ 3m + 2n + 4 = 2m + n + 7 \][/tex]
[tex]\[ m + n = 3 \][/tex]
Sustituyendo [tex]\( m = -5 - 5n \)[/tex] en [tex]\( m + n = 3 \)[/tex]:
[tex]\[ -5 - 5n + n = 3 \][/tex]
[tex]\[ -5 - 4n = 3 \][/tex]
[tex]\[ -4n = 8 \][/tex]
[tex]\[ n = -2 \][/tex]
Ahora, sustituyendo [tex]\( n = -2 \)[/tex] en [tex]\( m = -5 - 5n \)[/tex]:
[tex]\[ m = -5 - 5(-2) \][/tex]
[tex]\[ m = -5 + 10 \][/tex]
[tex]\[ m = 5 \][/tex]
Ya tenemos los valores de [tex]\( m \)[/tex] y [tex]\( n \)[/tex]:
[tex]\[ m = 5 \][/tex]
[tex]\[ n = -2 \][/tex]
Finalmente, calculamos la calificación de Cristian usando la expresión [tex]\( 4m + 3n \)[/tex]:
[tex]\[ 4m + 3n = 4(5) + 3(-2) \][/tex]
[tex]\[ = 20 - 6 \][/tex]
[tex]\[ = 14 \][/tex]
Por lo tanto, la calificación obtenida por Cristian en la PC02 es 14.
