Para calcular el valor de [tex]\( S \)[/tex], debemos evaluar la expresión dada:
[tex]\[
S = 1 \cdot 3 - 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 - 7 \cdot 9 + 9 \cdot 11 - 11 \cdot 13 + \ldots
\][/tex]
Cada término de esta secuencia consiste en dos partes:
1. Un producto de dos números impares consecutivos.
2. Una alternancia de suma y resta entre estos productos.
Vamos a desglosar esta serie paso a paso:
1. Identificación de los términos:
- Primer término: [tex]\( 1 \cdot 3 \)[/tex]
- Segundo término: [tex]\( -3 \cdot 5 \)[/tex]
- Tercer término: [tex]\( 5 \cdot 7 \)[/tex]
- Cuarto término: [tex]\( -7 \cdot 9 \)[/tex]
- Y así sucesivamente.
2. Patrón de generación de los números:
- Los números que se multiplican están dados por [tex]\( 2n + 1 \)[/tex], donde [tex]\( n \)[/tex] es la posición del número en la secuencia de números impares.
Para los primeros 40 términos, alternamos sumando y restando los productos de estos números impares consecutivos.
Sigamos el desarrollo de los primeros términos para formar una intuición:
[tex]\[
S = 1 \cdot 3 - 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 - 7 \cdot 9 + \ldots + 77 \cdot 79 - 79 \cdot 81
\][/tex]
Aquí podemos ver que estamos multiplicando pares de números impares consecutivos y alternando el signo.
Evaluando la serie completa de 40 términos, se ha encontrado que:
[tex]\[
S = -3280
\][/tex]
Por lo tanto, la respuesta correcta es:
[tex]\[
\boxed{-3280}
\][/tex]
