Para determinar cuántos valores de [tex]\( k \)[/tex] dan al sistema lineal homogéneo soluciones distintas de la solución trivial ([tex]\( x = y = z = 0 \)[/tex]), necesitamos examinar el determinante de la matriz de coeficientes del sistema. Si el determinante es cero para algún valor de [tex]\( k \)[/tex], esto indica que el sistema tiene soluciones no triviales.
Primero, escribimos la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones:
[tex]\[
\begin{pmatrix}
1-k & 1 & -1 \\
2 & -k & -2 \\
1 & -1 & -(k+1)
\end{pmatrix}
\][/tex]
Después, calculamos el determinante de esta matriz. El determinante de una matriz [tex]\( 3 \times 3 \)[/tex] se encuentra usando la fórmula:
[tex]\[
\text{det}(A) =
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}
= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}
- a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}
+ a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}
\][/tex]
Aplicamos esta fórmula a nuestra matriz:
[tex]\[
\text{det}(A) = (1-k) \begin{vmatrix} -k & -2 \\ -1 & -(k+1) \end{vmatrix}
- 1 \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -(k+1) \end{vmatrix}
+ (-1) \begin{vmatrix} 2 & -k \\ 1 & -1 \end{vmatrix}
\][/tex]
Calculamos los determinantes menores:
[tex]\[
\begin{vmatrix} -k & -2 \\ -1 & -(k+1) \end{vmatrix} = (-k)(-(k+1)) - (-2)(-1) = k(k+1) - 2 = k^2 + k - 2
\][/tex]
[tex]\[
\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -(k+1) \end{vmatrix} = 2(-(k+1)) - (-2)(1) = -2(k+1) + 2 = -2k - 2 + 2 = -2k
\][/tex]
[tex]\[
\begin{vmatrix} 2 & -k \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 2(-1) - (-k)(1) = -2 + k = k - 2
\][/tex]
Ahora sustituimos estos valores en la fórmula del determinante:
[tex]\[
\text{det}(A) = (1-k)(k^2 + k - 2) - 1(-2k) + (-1)(k - 2)
\][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[
\text{det}(A) = (1-k)(k^2 + k - 2) + 2k - (k - 2)
\][/tex]
Multiplicamos y combinamos términos:
[tex]\[
(1-k)(k^2 + k - 2) = k^2 + k - 2 - k^3 - k^2 + 2k
= -k^3 + k + 2k - 2 = -k^3 + 3k - 2
\][/tex]
Así que el determinante queda:
[tex]\[
\text{det}(A) = -k^3 + 4k
\][/tex]
Para encontrar los valores de [tex]\( k \)[/tex] que hacen el determinante cero, resolvemos la ecuación:
[tex]\[
-k^3 + 4k = 0
\][/tex]
Factorizamos:
[tex]\[
k(-k^2 + 4) = 0
\][/tex]
Esto se descompone en:
[tex]\[
k(k-2)(k+2) = 0
\][/tex]
Por lo tanto, los valores de [tex]\( k \)[/tex] que hacen el determinante cero son:
[tex]\[
k = 0, k = 2, k = -2
\][/tex]
El sistema tendrá soluciones no triviales para estos valores específicos de [tex]\( k \)[/tex]. Entonces, el sistema tiene soluciones no triviales para tres valores de [tex]\( k \)[/tex]: [tex]\( k = 0 \)[/tex], [tex]\( k = 2 \)[/tex], y [tex]\( k = -2 \)[/tex].
La respuesta final es que el sistema lineal homogéneo tiene soluciones distintas de la trivial para tres valores de [tex]\( k \)[/tex].
