Para hallar el ángulo de desfase o fase de la función [tex]\( f(x) = 0.5 \cos \left(\frac{1}{3} x - \frac{\pi}{6} \right) \)[/tex], comparemos esta función con la forma estándar de la función coseno, que es:
[tex]\[ f(x) = A \cos(B(x - C)) + D \][/tex]
donde:
- [tex]\( A \)[/tex] es la amplitud,
- [tex]\( B \)[/tex] afecta el período,
- [tex]\( C \)[/tex] es la fase o el desfase,
- [tex]\( D \)[/tex] es la traslación vertical.
En su caso, la función dada es:
[tex]\[ f(x) = 0.5 \cos \left(\frac{1}{3} x - \frac{\pi}{6}\right) \][/tex]
Comparando esta con la forma estándar, tenemos que:
- [tex]\( A = 0.5 \)[/tex]
- [tex]\( B = \frac{1}{3} \)[/tex]
- [tex]\( D = 0 \)[/tex]
Para determinar el desfase, observamos el término dentro del coseno:
[tex]\[ \frac{1}{3} x - \frac{\pi}{6} \][/tex]
Queremos escribir [tex]\( \frac{1}{3} x - \frac{\pi}{6} \)[/tex] en la forma [tex]\( B(x - C) \)[/tex]. Entonces:
[tex]\[ \frac{1}{3} x - \frac{\pi}{6} = \frac{1}{3} \left( x - \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi}{6} \right) \][/tex]
[tex]\[ = \frac{1}{3} \left( x - \frac{\pi}{2} \right) \][/tex]
De esta manera, se puede ver que el termino de ángulo de desfase está relacionado con [tex]\( \frac{\pi}{2} \)[/tex] ya que está restando dentro del coseno. En otras palabras:
[tex]\[ C = \frac{\pi}{2} \][/tex]
Por lo tanto, el ángulo de desfase de la función [tex]\( f(x) = 0.5 \cos \left(\frac{1}{3} x - \frac{\pi}{6} \right) \)[/tex] es [tex]\( \frac{\pi}{2} \)[/tex].
La respuesta correcta es [tex]\( \frac{\pi}{2} \)[/tex].
Por lo tanto, la opción correcta es:
(A) [tex]\(\frac{\pi}{2}\)[/tex].
