Para resolver essa questão, precisamos analisar como a aceleração da gravidade muda em um planeta que tem a mesma massa que a Terra, mas com metade do diâmetro.
A aceleração da gravidade [tex]\( g \)[/tex] em um planeta é dada pela fórmula:
[tex]\[
g = \frac{G \cdot M}{R^2}
\][/tex]
onde:
- [tex]\( G \)[/tex] é a constante gravitacional.
- [tex]\( M \)[/tex] é a massa do planeta.
- [tex]\( R \)[/tex] é o raio do planeta.
Sabemos que a aceleração da gravidade na Terra ([tex]\( g_{Terra} \)[/tex]) é [tex]\( 10 \, m/s^2 \)[/tex].
### Passo a Passo:
1. Relação entre os raios:
Considerando que o diâmetro do novo planeta é a metade do diâmetro da Terra, o raio desse novo planeta será também a metade do raio da Terra. Vamos chamar o raio da Terra de [tex]\( R_{Terra} \)[/tex]. Então, para o novo planeta, o raio é [tex]\( R_{Novo} = \frac{1}{2} \cdot R_{Terra} \)[/tex].
2. Relação entre os quadrados dos raios:
A aceleração da gravidade é inversamente proporcional ao quadrado do raio do planeta. Portanto, se o raio do novo planeta é metade do raio da Terra, o quadrado do raio será:
[tex]\[
R_{Novo}^2 = \left(\frac{R_{Terra}}{2}\right)^2 = \frac{R_{Terra}^2}{4}
\][/tex]
3. Aceleração da gravidade no novo planeta:
A relação de gravidade entre a Terra e o novo planeta será:
[tex]\[
g^\prime = \frac{G \cdot M}{R_{Novo}^2} = \frac{G \cdot M}{\left(\frac{R_{Terra}}{2}\right)^2} = \frac{G \cdot M}{\frac{R_{Terra}^2}{4}} = 4 \cdot \frac{G \cdot M}{R_{Terra}^2}
\][/tex]
Isso significa que a gravidade no novo planeta [tex]\( g^\prime \)[/tex] é quatro vezes maior do que na Terra, pois a divisão por [tex]\( \frac{1}{4} \)[/tex] é igual a multiplicação por 4.
4. Cálculo final:
[tex]\[
g^\prime = 4 \cdot 10 \, m/s^2 = 40 \, m/s^2
\][/tex]
Assim, a aceleração da gravidade [tex]\( g^\prime \)[/tex] no novo planeta é [tex]\( 40 \, m/s^2 \)[/tex].
Portanto, a resposta correta é:
d) [tex]\( g^{\prime} = 40 \, m/s^2 \)[/tex]
