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31.18. [VUNESP - SP] Um satélite artificial descreve uma órbita circular em torno da Terra com velocidade escalar constante [tex]\(v\)[/tex], graças à ação da força gravitacional dada por [tex]\(\frac{GmM}{r^2}\)[/tex], onde [tex]\(G\)[/tex] é constante, [tex]\(m\)[/tex] e [tex]\(M\)[/tex] são as massas do satélite e da Terra, respectivamente, e [tex]\(r\)[/tex] é a distância entre seus centros. Essa força é responsável pela aceleração centrípeta [tex]\(\frac{v^2}{r}\)[/tex] do movimento circular uniforme do satélite.

A partir dessas informações, é possível concluir que o período de revolução do satélite em torno da Terra é dado por:

a) [tex]\(2 \pi \sqrt{\frac{G M}{r}}\)[/tex]

b) [tex]\(2 \pi \sqrt{\frac{G M}{r^2}}\)[/tex]

c) [tex]\(2 \pi \sqrt{\frac{r^2}{G M}}\)[/tex]

d) [tex]\(2 \pi \sqrt{\frac{G M}{r^3}}\)[/tex]

e) [tex]\(2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{G M}}\)[/tex]



Answer :

GinnyAnswer
Para resolver esta questão, devemos determinar o período de revolução [tex]\( T \)[/tex] do satélite em torno da Terra. Vamos seguir os dados e fórmulas fornecidos no enunciado.

### Passo 1: Igualar as forças

A força gravitacional que atua sobre o satélite é dada por:
[tex]\[ F_g = \frac{G m M}{r^2} \][/tex]

A força centrípeta necessária para manter o satélite em uma órbita circular é dada por:
[tex]\[ F_c = \frac{m v^2}{r} \][/tex]

Para que o satélite esteja em órbita estável, essas duas forças devem ser iguais:
[tex]\[ \frac{G m M}{r^2} = \frac{m v^2}{r} \][/tex]

### Passo 2: Simplificar a equação

Os termos [tex]\( m \)[/tex] (massa do satélite) aparecem nos dois lados da equação e podem ser simplificados:
[tex]\[ \frac{G M}{r^2} = \frac{v^2}{r} \][/tex]

Multiplicamos ambos os lados por [tex]\( r \)[/tex] para isolar [tex]\( v^2 \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{G M}{r} = v^2 \][/tex]

### Passo 3: Encontrar a velocidade [tex]\( v \)[/tex]

Tomamos a raiz quadrada dos ambos os lados para resolver para [tex]\( v \)[/tex]:
[tex]\[ v = \sqrt{\frac{G M}{r}} \][/tex]

### Passo 4: Determinar o perímetro da órbita

O perímetro (ou a circunferência) da órbita circular do satélite é dado por:
[tex]\[ C = 2 \pi r \][/tex]

### Passo 5: Relacionar o perímetro com o período de revolução

O período de revolução [tex]\( T \)[/tex] é o tempo que o satélite leva para completar uma volta ao longo da circunferência orbital. Sabemos que:
[tex]\[ T = \frac{C}{v} = \frac{2 \pi r}{v} \][/tex]

Substituímos a velocidade [tex]\( v \)[/tex] encontrada anteriormente:
[tex]\[ T = \frac{2 \pi r}{\sqrt{\frac{G M}{r}}} \][/tex]

### Passo 6: Simplificar a expressão do período

[tex]\[ T = \frac{2 \pi r}{\sqrt{\frac{G M}{r}}} = 2 \pi \frac{r \sqrt{r}}{\sqrt{G M}} = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{G M}} \][/tex]

Portanto, o período de revolução do satélite em torno da Terra é:
[tex]\[ T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{G M}} \][/tex]

A resposta correta é:

e.) [tex]\( 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{G M}} \)[/tex]

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