Para resolver la ecuación cuadrática [tex]\( x^2 - 2x + 1 = 0 \)[/tex] utilizando la fórmula general, seguimos estos pasos:
### Paso 1: Identificación de coeficientes
Reconocemos los coeficientes de la ecuación cuadrática general [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex]. En este caso:
- [tex]\( a = 1 \)[/tex]
- [tex]\( b = -2 \)[/tex]
- [tex]\( c = 1 \)[/tex]
### Paso 2: Aplicación de la fórmula general
La fórmula general para resolver una ecuación cuadrática es:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
Sustituimos los valores de [tex]\( a \)[/tex], [tex]\( b \)[/tex], y [tex]\( c \)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} \][/tex]
### Paso 3: Simplificación del discriminante
Calculamos el discriminante [tex]\( \Delta = b^2 - 4ac \)[/tex]:
[tex]\[ \Delta = (-2)^2 - 4(1)(1) \][/tex]
[tex]\[ \Delta = 4 - 4 \][/tex]
[tex]\[ \Delta = 0 \][/tex]
### Paso 4: Cálculo de las soluciones
Dado que el discriminante es cero, solo habrá una solución real (raíces dobles):
[tex]\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{0}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{2}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = 1 \][/tex]
Por lo tanto, la solución a la ecuación es:
[tex]\[ x = 1 \][/tex]
Como es una raíz doble, podemos escribirlo como:
[tex]\[ x_1 = 1 \][/tex]
[tex]\[ x_2 = 1 \][/tex]
### Paso 5: Comprobación de las soluciones
Sustituimos las soluciones en la ecuación original para verificar:
Para [tex]\( x = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ 1^2 - 2(1) + 1 = 0 \][/tex]
[tex]\[ 1 - 2 + 1 = 0 \][/tex]
[tex]\[ 0 = 0 \][/tex]
La solución [tex]\( x = 1 \)[/tex] verifica la ecuación original.
### Conclusión
La solución de la ecuación cuadrática [tex]\( x^2 - 2x + 1 = 0 \)[/tex] es:
[tex]\[ x_1 = 1 \][/tex]
[tex]\[ x_2 = 1 \][/tex]
Y la comprobación confirma que estas soluciones son correctas.
