Claro, vamos a resolver la ecuación [tex]\(2^{1-x^2} = \frac{1}{8}\)[/tex] paso a paso.
1. Reescribir la ecuación en una forma más manejable: Comenzamos recodificando [tex]\(\frac{1}{8}\)[/tex] como una potencia de 2. Sabemos que [tex]\(8\)[/tex] es igual a [tex]\(2^3\)[/tex], por lo que [tex]\(\frac{1}{8}\)[/tex] es lo mismo que [tex]\(2^{-3}\)[/tex]. Así, la ecuación original se puede reescribir de la siguiente manera:
[tex]\[
2^{1 - x^2} = 2^{-3}
\][/tex]
2. Igualar los exponentes: Como las bases en ambos lados de la ecuación son las mismas (base 2), podemos igualar los exponentes:
[tex]\[
1 - x^2 = -3
\][/tex]
3. Resolver la ecuación resultante: Ahora debemos resolver la ecuación [tex]\(1 - x^2 = -3\)[/tex] para [tex]\(x\)[/tex].
a. Restamos 1 a ambos lados de la ecuación:
[tex]\[
1 - x^2 - 1 = -3 - 1
\][/tex]
Esto simplifica a:
[tex]\[
-x^2 = -4
\][/tex]
b. Multiplicamos por [tex]\(-1\)[/tex] para deshacernos del signo negativo:
[tex]\[
x^2 = 4
\][/tex]
c. Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados:
[tex]\[
x = \pm \sqrt{4}
\][/tex]
[tex]\[
x = \pm 2
\][/tex]
4. Conclusión: Los valores de [tex]\(x\)[/tex] que satisfacen la ecuación [tex]\(2^{1 - x^2} = \frac{1}{8}\)[/tex] son:
[tex]\[
x = -2 \quad \text{y} \quad x = 2
\][/tex]
Por lo tanto, la solución de la ecuación es:
[tex]\[
x = -2 \quad \text{y} \quad x = 2
\][/tex]
