Vamos a resolver el problema paso a paso.
### Encontrar la altura máxima que alcanza el proyectil
La función dada es [tex]\( f(x) = -10x^2 + 70x + 10 \)[/tex].
Para encontrar la altura máxima de un proyectil representado por una función cuadrática, necesitamos encontrar el vértice de la parábola. La fórmula para encontrar la coordenada [tex]\( x \)[/tex] del vértice de una parábola de la forma [tex]\( ax^2 + bx + c \)[/tex] es:
[tex]\[ x = -\frac{b}{2a} \][/tex]
En este caso, los coeficientes son [tex]\( a = -10 \)[/tex] y [tex]\( b = 70 \)[/tex].
[tex]\[ x = -\frac{70}{2(-10)} = -\frac{70}{-20} = 3.5 \][/tex]
Entonces, el proyectil alcanza su altura máxima en [tex]\( x = 3.5 \)[/tex] segundos.
### Calcular la altura máxima
Para encontrar la altura máxima, sustituimos [tex]\( x = 3.5 \)[/tex] en la función [tex]\( f(x) \)[/tex]:
[tex]\[ f(3.5) = -10(3.5)^2 + 70(3.5) + 10 \][/tex]
Calculamos cada término:
[tex]\[ -10(3.5)^2 = -10(12.25) = -122.5 \][/tex]
[tex]\[ 70(3.5) = 245 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ f(3.5) = -122.5 + 245 + 10 = 132.5 \][/tex]
La altura máxima que alcanza el proyectil es 132.5 metros.
### Encontrar el tiempo en que el proyectil llega al nivel del agua
Para determinar cuándo el proyectil llega al nivel del agua, necesitamos resolver la ecuación [tex]\( f(x) = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ -10x^2 + 70x + 10 = 0 \][/tex]
Usamos la fórmula cuadrática [tex]\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)[/tex] donde [tex]\( a = -10 \)[/tex], [tex]\( b = 70 \)[/tex] y [tex]\( c = 10 \)[/tex].
Calculamos el discriminante:
[tex]\[ discriminante = b^2 - 4ac = 70^2 - 4(-10)(10) = 4900 + 400 = 5300 \][/tex]
Entonces, las soluciones son:
[tex]\[ x = \frac{-70 \pm \sqrt{5300}}{2(-10)} = \frac{-70 \pm 72.8}{-20} \][/tex]
Resolviendo para los dos valores de [tex]\( \pm \)[/tex]:
[tex]\[ x_1 = \frac{-70 + 72.8}{-20} = \frac{2.8}{-20} = -0.1401 \quad (\text{descartamos este ya que el tiempo no puede ser negativo}) \][/tex]
[tex]\[ x_2 = \frac{-70 - 72.8}{-20} = \frac{-142.8}{-20} = 7.1401 \][/tex]
Entonces, el tiempo cuando el proyectil llega al nivel del agua es aproximadamente en [tex]\( x = 7.14 \)[/tex] segundos.
### Resumen
1. La altura máxima que alcanza el proyectil es 132.5 metros.
2. El tiempo en que alcanza la altura máxima es 3.5 segundos.
3. El tiempo en que el proyectil llega al nivel del agua es 7.14 segundos.
