Vamos a analizar las relaciones [tex]\( R_1 \)[/tex], [tex]\( R_2 \)[/tex] y [tex]\( R_3 \)[/tex] definidas sobre el conjunto [tex]\( B = \{1, 2, 3, 4\} \)[/tex].
1. Para [tex]\( R_1 = \{(x, y) \in B \times B \mid y = x\} \)[/tex]:
Esta relación incluye los pares donde el segundo elemento es igual al primero, es decir, los pares donde [tex]\( y = x \)[/tex].
Los elementos de [tex]\( R_1 \)[/tex] son:
[tex]\[
R_1 = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)\}
\][/tex]
El número de elementos en [tex]\( R_1 \)[/tex] es:
[tex]\[
n(R_1) = 4
\][/tex]
2. Para [tex]\( R_2 = \{(x, y) \in B \times B \mid y < x\} \)[/tex]:
Esta relación incluye los pares donde el segundo elemento es menor que el primero, es decir, [tex]\( y < x \)[/tex].
Los elementos de [tex]\( R_2 \)[/tex] son:
[tex]\[
R_2 = \{(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)\}
\][/tex]
El número de elementos en [tex]\( R_2 \)[/tex] es:
[tex]\[
n(R_2) = 6
\][/tex]
3. Para [tex]\( R_3 = \{(x, y) \in B \times B \mid x < y\} \)[/tex]:
Esta relación incluye los pares donde el primer elemento es menor que el segundo, es decir, [tex]\( x < y \)[/tex].
Los elementos de [tex]\( R_3 \)[/tex] son:
[tex]\[
R_3 = \{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)\}
\][/tex]
El número de elementos en [tex]\( R_3 \)[/tex] es:
[tex]\[
n(R_3) = 6
\][/tex]
Finalmente, debemos hallar [tex]\( n(R_3) + n(R_2) - n(R_1) \)[/tex]:
[tex]\[
n(R_3) + n(R_2) - n(R_1) = 6 + 6 - 4
\][/tex]
La simplificación de esta expresión es:
[tex]\[
6 + 6 - 4 = 8
\][/tex]
Por lo tanto, el resultado es:
[tex]\[
8
\][/tex]
