Para determinar la longitud del intervalo [tex]\( A \)[/tex], tenemos que trabajar con dos expresiones dadas:
1. La condición [tex]\( \frac{x+2}{2x-1} \in [1, 3) \)[/tex].
2. La expresión de la forma [tex]\( \frac{3x-1}{x+1} \)[/tex].
Empezaremos resolviendo las restricciones impuestas por [tex]\( \frac{x+2}{2x-1} \in [1, 3) \)[/tex].
Primero, resolvemos para los límites del intervalo [tex]\( \frac{x+2}{2x-1} = 1 \)[/tex] y [tex]\( \frac{x+2}{2x-1} = 3 \)[/tex].
1. Para [tex]\( \frac{x+2}{2x-1} = 1 \)[/tex]:
[tex]\[
\frac{x+2}{2x-1} = 1 \quad \Rightarrow \quad x + 2 = 2x - 1 \quad \Rightarrow \quad -x = -3 \quad \Rightarrow \quad x = 3
\][/tex]
2. Para [tex]\( \frac{x+2}{2x-1} = 3 \)[/tex]:
[tex]\[
\frac{x+2}{2x-1} = 3 \quad \Rightarrow \quad x + 2 = 3(2x - 1) \quad \Rightarrow \quad x + 2 = 6x - 3 \quad \Rightarrow \quad -5x = -5 \quad \Rightarrow \quad x = 1
\][/tex]
Estas soluciones nos indican que [tex]\( x \)[/tex] debe estar en el intervalo [1, 3).
Ahora sustituimos los valores del intervalo [1, 3) en la expresión [tex]\( \frac{3x-1}{x+1} \)[/tex].
1. Para [tex]\( x = 1 \)[/tex]:
[tex]\[
\frac{3(1)-1}{1+1} = \frac{2}{2} = 1
\][/tex]
2. Para [tex]\( x = 3 \)[/tex]:
[tex]\[
\frac{3(3)-1}{3+1} = \frac{9-1}{4} = \frac{8}{4} = 2
\][/tex]
Ten en cuenta que el valor [tex]\( x = 3 \)[/tex] no está incluido en el intervalo original, por lo tanto, exploramos el intervalo abierto en 3 pero cerrado en 1.
Para verificar la longitud del intervalo [tex]\( \left\{\frac{3x-1}{x+1} \, | \, x \in [1,3) \right\} \)[/tex]:
Observamos que dicha función varía de 1 a algo menor que 2. Por lo tanto, el extremo superior es estrictamente menor a 2 pero mayor que 1.
Finalmente, la longitud es evaluada entre estos valores:
[tex]\[
\left\{1 \leq \frac{3x-1}{x+1} < 2 \right\}
\][/tex]
Finalmente, la longitud del intervalo resultante es 1.
Así, la opción correcta es D) 1.
