Utilizando las propiedades de los logaritmos, escribe la expresión en forma expandida:

[tex]\[
\log \left(\frac{x^2}{(x-1)^3}\right) =
\][/tex]



Answer :

Para expandir la expresión [tex]\( \log \left[x^2 /(x-1)^3\right] \)[/tex] usando las propiedades de los logaritmos, seguimos los siguientes pasos detallados:

1. Propiedad del logaritmo de un cociente:
[tex]\[ \log \left( \frac{a}{b} \right) = \log(a) - \log(b) \][/tex]

Aplicando esta propiedad a nuestra expresión, tenemos:
[tex]\[ \log \left( \frac{x^2}{(x-1)^3} \right) = \log \left( x^2 \right) - \log \left( (x-1)^3 \right) \][/tex]

2. Propiedad del logaritmo de una potencia:
[tex]\[ \log(a^n) = n \cdot \log(a) \][/tex]

Aplicando esta propiedad a cada término de la expresión obtenida:
[tex]\[ \log \left( x^2 \right) = 2 \cdot \log(x) \][/tex]

y
[tex]\[ \log \left( (x-1)^3 \right) = 3 \cdot \log(x-1) \][/tex]

3. Sustitución de las expresiones: Sustituimos las expresiones que obtuvimos en el paso anterior:

[tex]\[ \log \left( x^2 \right) - \log \left( (x-1)^3 \right) = 2 \cdot \log(x) - 3 \cdot \log(x-1) \][/tex]

Entonces, la expresión original [tex]\( \log \left[ \frac{x^2}{(x-1)^3} \right] \)[/tex] en forma expandida es:

[tex]\[ 2 \cdot \log(x) - 3 \cdot \log(x-1) \][/tex]

Este resultado es la forma expandida de la expresión utilizando las propiedades de los logaritmos.