Para hallar la suma de los seis primeros términos de la progresión geométrica, sigamos los siguientes pasos:
### Identificación de los elementos
1. Primer término (a): El primer término de la progresión geométrica es [tex]\( a = \frac{4}{3} \)[/tex].
2. Razón común (r): La razón común se obtiene dividiendo el segundo término entre el primero. Aquí, la razón común es [tex]\( r = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)[/tex].
3. Número de términos (n): Deseamos sumar los primeros seis términos, por lo que [tex]\( n = 6 \)[/tex].
### Fórmula de la suma de una progresión geométrica
La fórmula para sumar los primeros [tex]\( n \)[/tex] términos de una progresión geométrica es:
[tex]\[ S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} \][/tex]
### Aplicación de la fórmula
Sustituyamos los valores en la fórmula:
1. Primer término (a): [tex]\[ a = \frac{4}{3} \][/tex]
2. Razón común (r): [tex]\[ r = \frac{1}{2} \][/tex]
3. Número de términos (n): [tex]\[ n = 6 \][/tex]
Entonces, la suma de los seis primeros términos ([tex]\(S_6\)[/tex]) es:
[tex]\[ S_6 = \frac{4}{3} \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^6}{1 - \frac{1}{2}} \][/tex]
### Simplificación
Primero simplificamos el denominador:
[tex]\[ 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \][/tex]
Ahora calculamos el numerador:
[tex]\[ 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^6 = 1 - \frac{1}{64} = \frac{64}{64} - \frac{1}{64} = \frac{63}{64} \][/tex]
Sustituyendo todo en la fórmula:
[tex]\[ S_6 = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{63}{64}}{\frac{1}{2}} \][/tex]
Invirtiendo la fracción del denominador y simplificando:
[tex]\[ S_6 = \frac{4}{3} \cdot \frac{63}{64} \cdot 2 \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ S_6 = \frac{4 \cdot 63}{3 \cdot 64} \cdot 2 = \frac{252}{64} \cdot \frac{2}{3} = \frac{504}{192} \][/tex]
Dividimos:
[tex]\[ \frac{504}{192} = \frac{21}{8} = 2.625 \][/tex]
### Resultado
La suma de los seis primeros términos de la progresión geométrica es:
[tex]\[ \boxed{2.625} \][/tex]
