Claro, vamos a resolver la cuestión utilizando el discriminante. La fórmula general para resolver una ecuación cuadrática de la forma [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex] es:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
El discriminante, [tex]\( \Delta \)[/tex], se define como:
[tex]\[ \Delta = b^2 - 4ac \][/tex]
Dependiendo del valor del discriminante, podemos determinar la naturaleza de las raíces de la ecuación cuadrática:
- Si [tex]\( \Delta > 0 \)[/tex]: La ecuación tiene dos raíces reales y distintas.
- Si [tex]\( \Delta = 0 \)[/tex]: La ecuación tiene una raíz real y doble (dos raíces iguales).
- Si [tex]\( \Delta < 0 \)[/tex]: La ecuación no tiene raíces reales (las raíces son complejas o imaginarias).
Veamos cada ecuación dada:
A) [tex]\( x^2 - x + 1 = 0 \)[/tex]
- Coeficientes: [tex]\( a = 1 \)[/tex], [tex]\( b = -1 \)[/tex], [tex]\( c = 1 \)[/tex]
- Discriminante: [tex]\( \Delta = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 \)[/tex]
- Como [tex]\( \Delta < 0 \)[/tex], no tiene raíces reales.
B) [tex]\( x^2 - 2x + 1 = 0 \)[/tex]
- Coeficientes: [tex]\( a = 1 \)[/tex], [tex]\( b = -2 \)[/tex], [tex]\( c = 1 \)[/tex]
- Discriminante: [tex]\( \Delta = (-2)^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0 \)[/tex]
- Como [tex]\( \Delta = 0 \)[/tex], tiene una raíz real y doble.
C) [tex]\( x^2 + 5x - 6 = 0 \)[/tex]
- Coeficientes: [tex]\( a = 1 \)[/tex], [tex]\( b = 5 \)[/tex], [tex]\( c = -6 \)[/tex]
- Discriminante: [tex]\( \Delta = 5^2 - 4(1)(-6) = 25 + 24 = 49 \)[/tex]
- Como [tex]\( \Delta > 0 \)[/tex], tiene dos raíces reales y distintas.
D) [tex]\( x^2 + 3x + 3 = 0 \)[/tex]
- Coeficientes: [tex]\( a = 1 \)[/tex], [tex]\( b = 3 \)[/tex], [tex]\( c = 3 \)[/tex]
- Discriminante: [tex]\( \Delta = 3^2 - 4(1)(3) = 9 - 12 = -3 \)[/tex]
- Como [tex]\( \Delta < 0 \)[/tex], no tiene raíces reales.
Entonces, la ecuación que tiene dos raíces reales y distintas es la opción:
C) [tex]\( x^2 + 5x - 6 = 0 \)[/tex]
