Answer :
Claro, vamos a detallar paso a paso cómo resolver este problema:
### Paso a paso:
Dado:
- Eqilibrio químico:
[tex]\[ H_2(g) + I_2(g) \leftrightarrow 2HI(g) \][/tex]
- Se introducen 0,5 moles de [tex]$H_2$[/tex] y 0,5 moles de [tex]$I_2$[/tex] en un recipiente de 1L.
- La constante de equilibrio, [tex]$K_c$[/tex], es 54,3 a [tex]$430^{\circ}C$[/tex].
Objetivo:
a) Escribir la expresión de [tex]$K_c$[/tex] para esta reacción.
b) Determinar las concentraciones de [tex]$H_2$[/tex], [tex]$I_2$[/tex] y [tex]$HI$[/tex] en el equilibrio.
c) Determinar [tex]$K_p$[/tex].
### a) Expresión de [tex]\( K_c \)[/tex]
La constante de equilibrio [tex]$K_c$[/tex] para una reacción general:
[tex]\[ aA + bB \leftrightarrow cC + dD \][/tex]
se escribe como:
[tex]\[ K_c = \frac{[C]^c[D]^d}{[A]^a[B]^b} \][/tex]
Para la reacción dada:
[tex]\[ H_2(g) + I_2(g) \leftrightarrow 2HI(g) \][/tex]
La expresión de [tex]\( K_c \)[/tex] es:
[tex]\[ K_c = \frac{[HI]^2}{[H_2][I_2]} \][/tex]
### b) Determinar las concentraciones en equilibrio
Partimos con:
[tex]\[ [H_2]_0 = 0.5 \, \text{M} \][/tex]
[tex]\[ [I_2]_0 = 0.5 \, \text{M} \][/tex]
[tex]\[ [HI]_0 = 0 \, \text{M} \][/tex]
Si [tex]\(x\)[/tex] moles de [tex]$H_2$[/tex] e [tex]$I_2$[/tex] reaccionan, la concentración en el equilibrio será:
[tex]\[ [H_2] = [I_2] = 0.5 - x \][/tex]
[tex]\[ [HI] = 2x \][/tex]
Sustituimos en la expresión de [tex]\( K_c \)[/tex]:
[tex]\[ K_c = 54.3 = \frac{(2x)^2}{(0.5 - x)(0.5 - x)} \][/tex]
Resolvemos la ecuación cuadrática:
[tex]\[ 54.3 = \frac{4x^2}{(0.5 - x)^2} \][/tex]
Tomando la raíz cuadrada en ambos lados:
[tex]\[ \sqrt{54.3} = \frac{2x}{0.5 - x} \][/tex]
[tex]\[ \sqrt{54.3} (0.5 - x) = 2x \][/tex]
Reorganizamos para resolver para [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[ \sqrt{54.3} \cdot 0.5 - \sqrt{54.3} \cdot x = 2x \][/tex]
[tex]\[ 0.5\sqrt{54.3} = (\sqrt{54.3} + 2)x \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{0.5\sqrt{54.3}}{\sqrt{54.3} + 2} \][/tex]
Calculamos [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[ \sqrt{54.3} \approx 7.37 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{0.5 \cdot 7.37}{7.37 + 2} \approx \frac{3.685}{9.37} \approx 0.393 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ [H_2] = 0.5 - x \approx 0.5 - 0.393 \approx 0.107 \, \text{M} \][/tex]
[tex]\[ [I_2] = 0.5 - x \approx 0.107 \, \text{M} \][/tex]
[tex]\[ [HI] = 2x \approx 2 \cdot 0.393 \approx 0.786 \, \text{M} \][/tex]
### c) Determinar [tex]\( K_p \)[/tex]
Para una reacción en fase gaseosa:
[tex]\[ K_p = K_c (RT)^{\Delta n} \][/tex]
Donde [tex]\( \Delta n \)[/tex] es el cambio en el número de moles de gas (productos - reactivos):
[tex]\[ \Delta n = 2 - 1 - 1 = 0 \][/tex]
A una temperatura dada [tex]\( T \)[/tex] (en Kelvin):
[tex]\[ 430^{\circ}C = 430 + 273 = 703 \, K \][/tex]
Como [tex]\( \Delta n = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ K_p = K_c (RT)^0 = K_c = 54.3 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ K_p = 54.3 \][/tex]
### Resumen de resultados
a) La expresión de [tex]\( K_c \)[/tex] es:
[tex]\[ K_c = \frac{[HI]^2}{[H_2][I_2]} \][/tex]
b) Las concentraciones en equilibrio son:
[tex]\[ [H_2] = 0.107 \, \text{M}, \quad [I_2] = 0.107 \, \text{M}, \quad [HI] = 0.786 \, \text{M} \][/tex]
c) [tex]\( K_p = 54.3 \)[/tex]
### Paso a paso:
Dado:
- Eqilibrio químico:
[tex]\[ H_2(g) + I_2(g) \leftrightarrow 2HI(g) \][/tex]
- Se introducen 0,5 moles de [tex]$H_2$[/tex] y 0,5 moles de [tex]$I_2$[/tex] en un recipiente de 1L.
- La constante de equilibrio, [tex]$K_c$[/tex], es 54,3 a [tex]$430^{\circ}C$[/tex].
Objetivo:
a) Escribir la expresión de [tex]$K_c$[/tex] para esta reacción.
b) Determinar las concentraciones de [tex]$H_2$[/tex], [tex]$I_2$[/tex] y [tex]$HI$[/tex] en el equilibrio.
c) Determinar [tex]$K_p$[/tex].
### a) Expresión de [tex]\( K_c \)[/tex]
La constante de equilibrio [tex]$K_c$[/tex] para una reacción general:
[tex]\[ aA + bB \leftrightarrow cC + dD \][/tex]
se escribe como:
[tex]\[ K_c = \frac{[C]^c[D]^d}{[A]^a[B]^b} \][/tex]
Para la reacción dada:
[tex]\[ H_2(g) + I_2(g) \leftrightarrow 2HI(g) \][/tex]
La expresión de [tex]\( K_c \)[/tex] es:
[tex]\[ K_c = \frac{[HI]^2}{[H_2][I_2]} \][/tex]
### b) Determinar las concentraciones en equilibrio
Partimos con:
[tex]\[ [H_2]_0 = 0.5 \, \text{M} \][/tex]
[tex]\[ [I_2]_0 = 0.5 \, \text{M} \][/tex]
[tex]\[ [HI]_0 = 0 \, \text{M} \][/tex]
Si [tex]\(x\)[/tex] moles de [tex]$H_2$[/tex] e [tex]$I_2$[/tex] reaccionan, la concentración en el equilibrio será:
[tex]\[ [H_2] = [I_2] = 0.5 - x \][/tex]
[tex]\[ [HI] = 2x \][/tex]
Sustituimos en la expresión de [tex]\( K_c \)[/tex]:
[tex]\[ K_c = 54.3 = \frac{(2x)^2}{(0.5 - x)(0.5 - x)} \][/tex]
Resolvemos la ecuación cuadrática:
[tex]\[ 54.3 = \frac{4x^2}{(0.5 - x)^2} \][/tex]
Tomando la raíz cuadrada en ambos lados:
[tex]\[ \sqrt{54.3} = \frac{2x}{0.5 - x} \][/tex]
[tex]\[ \sqrt{54.3} (0.5 - x) = 2x \][/tex]
Reorganizamos para resolver para [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[ \sqrt{54.3} \cdot 0.5 - \sqrt{54.3} \cdot x = 2x \][/tex]
[tex]\[ 0.5\sqrt{54.3} = (\sqrt{54.3} + 2)x \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{0.5\sqrt{54.3}}{\sqrt{54.3} + 2} \][/tex]
Calculamos [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[ \sqrt{54.3} \approx 7.37 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{0.5 \cdot 7.37}{7.37 + 2} \approx \frac{3.685}{9.37} \approx 0.393 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ [H_2] = 0.5 - x \approx 0.5 - 0.393 \approx 0.107 \, \text{M} \][/tex]
[tex]\[ [I_2] = 0.5 - x \approx 0.107 \, \text{M} \][/tex]
[tex]\[ [HI] = 2x \approx 2 \cdot 0.393 \approx 0.786 \, \text{M} \][/tex]
### c) Determinar [tex]\( K_p \)[/tex]
Para una reacción en fase gaseosa:
[tex]\[ K_p = K_c (RT)^{\Delta n} \][/tex]
Donde [tex]\( \Delta n \)[/tex] es el cambio en el número de moles de gas (productos - reactivos):
[tex]\[ \Delta n = 2 - 1 - 1 = 0 \][/tex]
A una temperatura dada [tex]\( T \)[/tex] (en Kelvin):
[tex]\[ 430^{\circ}C = 430 + 273 = 703 \, K \][/tex]
Como [tex]\( \Delta n = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ K_p = K_c (RT)^0 = K_c = 54.3 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ K_p = 54.3 \][/tex]
### Resumen de resultados
a) La expresión de [tex]\( K_c \)[/tex] es:
[tex]\[ K_c = \frac{[HI]^2}{[H_2][I_2]} \][/tex]
b) Las concentraciones en equilibrio son:
[tex]\[ [H_2] = 0.107 \, \text{M}, \quad [I_2] = 0.107 \, \text{M}, \quad [HI] = 0.786 \, \text{M} \][/tex]
c) [tex]\( K_p = 54.3 \)[/tex]
