Para resolver el sistema de ecuaciones por el método de reducción (también conocido como el método de eliminación), seguiremos los siguientes pasos:
1. Escribir las ecuaciones originales:
[tex]\[
\begin{aligned}
-2x + y &= 7 \quad \text{(Ecuación 1)} \\
3x - 5y &= 1 \quad \text{(Ecuación 2)}
\end{aligned}
\][/tex]
2. Igualar los coeficientes de una de las incógnitas (en este caso, [tex]$y$[/tex]):
Para ello, multiplicamos la Ecuación 1 por 5 y la Ecuación 2 por 1 para que al sumar las ecuaciones, eliminemos la variable [tex]$y$[/tex]. Los coeficientes de [tex]$y$[/tex] en las ecuaciones serán entonces iguales y de signos opuestos.
[tex]\[
\begin{aligned}
5(-2x + y) &= 5 \cdot 7 \\
5(-2x) + 5(y) &= 35 \\
-10x + 5y &= 35 \quad \text{(Ecuación 3)}
\end{aligned}
\][/tex]
[tex]\[
\begin{aligned}
1(3x - 5y) &= 1 \cdot 1 \\
3x - 5y &= 1 \quad \text{(Ecuación 4)}
\end{aligned}
\][/tex]
3. Sumar las ecuaciones (Ecuación 3 y Ecuación 4):
[tex]\[
\begin{aligned}
(-10x + 5y) + (3x - 5y) &= 35 + 1 \\
-10x + 3x + 5y - 5y &= 36 \\
-7x &= 36 \\
x &= \frac{36}{-7} \text{ o } x = -\frac{36}{7}
\end{aligned}
\][/tex]
Así, hemos encontrado el valor de [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
x = -\frac{36}{7}
\][/tex]
4. Sustituir [tex]$x = -\frac{36}{7}$[/tex] en una de las ecuaciones originales para encontrar el valor de [tex]$y$[/tex]:
Usamos la Ecuación 1:
[tex]\[
\begin{aligned}
-2\left(-\frac{36}{7}\right) + y &= 7 \\
\frac{72}{7} + y &= 7 \\
y &= 7 - \frac{72}{7} \\
y &= \frac{49}{7} - \frac{72}{7} \\
y &= -\frac{23}{7}
\end{aligned}
\][/tex]
Por lo tanto, el valor de [tex]\( y \)[/tex] es:
[tex]\[
y = -\frac{23}{7}
\][/tex]
5. Conclusión:
Los valores que satisfacen el sistema de ecuaciones son:
[tex]\[
x = -\frac{36}{7} \quad \text{y} \quad y = -\frac{23}{7}
\][/tex]
